Теорема Ферма-Ойлера про два квадрати (Різдвяна теорема)

курсовая работа

2.2 Доведення Дона Цагира

Це доведення, належить сучасному математику Д. Цагиру.

Розглянемо перетворення, яке трійці натуральних чисел (x; у; z) співставляє три числа (x;y;z) за наступним правилом:

x=x+2z, у=z, z=у-х-z, якщо х<у-z (1)

х=2у-х, у=у, z=х-у+z, якщо y-z<x<2y (2)

х= х-2у, у=х-у+z, z=у в інших випадках (3)

Позначимо це перетворення буквою В: В(х; у; z)=(х; у; z).

Досить легко перевірити, що перетворення В зберігає форму х2+4yz. Виконаємо це, наприклад, для випадку (1).

Маємо:

х2+4уz=(х+2z)2+4z(у-х-z)=x2+4xz+4z2+4yz-4xz-4z22-4yz.

В інших випадках перевірка така ж проста. Отже, якщо для якогось числа р є рівняння z2+4yz=р, то воно зберігається і після перетворення В.

Перевіримо, що перетворення В інволютивне, тобто застосоване двічі воно поверне початковий результат. Знову виконаємо це для (1).

Нехай х<у-z, тоді х=2z+x, у=z, z=у-х-z, звідки х=х+2z>у-z=2z+х-у і, означає, що В(х; у; z) потрібно розраховувати за правилом (3):

х"=х-2у=х+2z-2z=х, у"=х-у-z=x+2z-z+у-x-z=у, z" = у = z.

В інших випадках все аналогічно.

А тепер припустимо, що р - просте число виду 4n+1. Тоді, по перше, рівняння x2+4yz=р можна розвязати хоча б двома способами: х=1, у=п, z=1 або x=y=1, z=п. І, по друге, це рівняння має скінченну кількість розвязків. Якщо припустити, що з поміж його розвязків нема таких, при яких у=z (бо якщо такі існують, то і доводити нема чого: р=х2+(2у)2), ми отримаємо, що перетворення В розбиває всі рішення на пари ((х; у; z); В(х; у; z)), якщо тільки (х; у; z) не дорівнює В(х; у; z). Розглянемо існують такі пари чи, як кажуть, що перетворення B має нерухомі точки.

Не важко зрозуміти, розглянувши формули (1)--(3), що нерухомі точки у В- ті, для яких х=у. Але при х=у>1 розвязків у рівняння x2+4уz=р немає (так як р не ділиться на у). Отже, є тільки одна не рухома точка (1; 1; п). Із всього сказаного випливає, що кількість розвязків рівняння х2+4уz=р непарна: нерухома точка (1; 1; п), а інші розвязки розбиваються на пари.

Проте, є ще одне перетворення, позначимо його J, яке y і z міняє місцями: J(x; y; z)=(х; z; у). Воно, звичайно, також інволютивне. Розглянемо, такі трійки (із наших розвязків рівняння x2+4yz=р) воно залишає на місці, тобто які ті (x; у; z), що (х; у; z)=(х; z; у).

Раніше було сказано, що y не дорівнює z.

Але тоді і нерухомих точок немає! Отже, всі розвязки розбиваються на пари. Тобто кількість розвязків парна! Але тільки що ми стверджували, що кількість розвязків не є парною. Виходить протиріччя. Значить, має існувати рішення рівняння x2+4yz=р, де у=z, тобто р - сума двох квадратів. Теорема доведена.

Делись добром ;)