Теорема Ферма-Ойлера про два квадрати (Різдвяна теорема)

курсовая работа

2.3 Єдиність представлення простого числа у вигляді суми двох квадратів

За теоремою Ферма-Ойлера будь-яке просте число р, яке при діленні на 4 дає остачу 1, можна представити у вигляді суми двох квадратів. Залишилось довести, що таке представлення єдине з точністю до порядку множників.

Теорема: ніяке просте число не може бути представлено у вигляді суми квадратів двох цілих чисел суттєво різними способами (тобто отримуючи їх один з одного через перестановку множників) способами.

Доведення: Якби просте число p мало два суттєво різних представлення, p = a2 + b2 = c2 + d2, то розклади p=(a+bi)(a-bi)=(c+di)(c-di) являють собою протиріччя. Можна обійтись в доведенні теореми і без комплексних чисел. Припустимо, що просте число p двома суттєво різними (тобто різними не тільки порядком множників) способами розкладено на суму квадратів натуральних чисел: p=a2+b2=c2+d2.

Тоді і Звідси, a2c2=(-b2)(-d2)(mod p), тобто число a2c2-b2d2 кратне p. (Якщо міркування з порівняннями за модулем p незвичні і через це сумнівні, можна отримати те ж саме, розглядаючи рівняння a2c2b2d2=a2(c2+d2)-(a2+b2)d2).)

Оскільки число p просте, із подільності добутку (ac+bd)(ac-bd) на p слідує, що один із множників кратний p. Якщо число ac+bd кратне p, то скористаємося формулою (1):

p2=(ac+bd)2+(ad-bc)2.

Якщо то протиріччя очевидне, так як перший доданок (ac+bd)2 кратний p2 і тому не менший p2. Якщо ж ad-bc=0, то ad=bc. Оскільки як числа a і b, так і числа c і d взаємно прості, маємо a = c і d = b.

Випадок, коли ac-bd кратне p, можна розглянути аналогічно, скориставшись формулою

p2=(ac-bd)2+(ad+bc)2.

Звідси, просте число неможна двома суттєво різними способами представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел. Число, єдиним чином можна представити у вигляді суми квадратів двох натуральних чисел, не завжди є простим: 10=12+32, 25=32+42. Легко сформулювати умови, при яких число має єдине представлення у вигляді суми двох квадратів.

Делись добром ;)