Теорема Ферма-Ойлера про два квадрати (Різдвяна теорема)
2.4 Кількість представлень числа у вигляді суми двох квадратів
В III столітті нашої ери грецький математик Діофант не тільки знав, що число 65 можна представити двома способами, але і пояснював це тим, що 65 являється добутком чисел 13 і 5, кожне з яких -- сума двох квадратів. Комплексних чисел Діофант не знав, інакше він неодмінно записав би розклад 5=(2+ i)(2-i), 13=(3+2i)(3-2i) і продовжив би свої пояснення наступним чином:
65=(2+i)(3+2i)(2-i)(3-2i)=(4+7i)(4-7i)=
=42+72=(2+i)(3-2i)(2-i)(3+2i)=(8-i)(8+i)=82+12.
По різному групуючи множники, отримуємо два різних розклади!
Наступний приклад-- число 25. 25-- найменше число, двома способами представляємо у вигляді суми квадратів двох цілих чисел. Обидва ці розклади легко отримати, по різному групуючи множники:
25=(2+i)2 (2-i)2=(3+4i)(3-4i)=32+42=(2+i)(2-i)(2+i)(2-i)=5*5=52+02.
Останній приклад -- число 5746. Як ми добре знаємо, будь-якому представленню 5746=a2+b2 відповідає розклад 5746=(a+bi)(a-bi) на спряжені множники. Тому розкладемо дане число спочатку на прості натуральні, а потім на прості гаусові множники:
5746=2*132*17= (1+i)(1-i)(3+2i)2(3-2i)2(4+i)(4-i).
Тепер ми маємо із декількох цих множників скласти a+bi, так щоб добуток інших множників дорівнював a-bi. Це нескладно зробити:
a+bi=(1+i)(3+2i)2(4+i)=-45+61i, a-bi=(1-i)(3-2i)2(4-i)=-45-61i.
При цьому, 452+612=2025+3721=5746. Легко знайти ще два варіанти:
a+bi=(1+i)(3+2i)(3-2i)(4+i)=39+65i або a+bi=(1+i)(3-2i)2(4+i)=75-11i.
Вони приводять до представлень 392+652=1521+4225=5746 і 752+112=5625+121=5746. Ніяких інших представлень немає.
Аналогічно можна знайти число представлень у вигляді суми двох квадратів будь-якого натурального числа
де p1, ..., pr
-- попарно різні прості числа, кожне з яких дає остачу 1 при діленні на 4,
Q -- число, не маюче простих дільників окрім тих, які дають остачу 3 при діленні на 4. А саме, якщо Q не являється точним квадратом, то n не представимо у вигляді суми двох квадратів; якщо ж Q -- точний квадрат, то, застосувавши необхідну кількість разів теорему 2, отримаємо: кількість представлень числа n у вигляді суми двох квадратів дорівнює кількості представлень числа у вигляді суми двох квадратів. Формулу для цієї кількості знайшов німець Петер Густав Лежен Дирихле (1805-1859).
Отже, кількість представлень числа m у вигляді суми квадратів двох цілих чисел дорівнює [((a1 + 1)*...*(ar + 1) + 1)/2]. (Якщо кількість співмножників дорівнює О, то добуток вважається рівним 1. Представлення, які відрізняються порядком доданків, не відрізняються.