Теореми Чеви і Менелая та їх застосування

дипломная работа

3.2 Застосування теорем Чеви для розвязання задач

Задача 3.1. Задано трикутник АВС. Як слід побудувати точку О всередині трикутника, щоб площі трикутників АОС, ВОС та АОВ відносилися як 7 : 11 : 13.

Розвязок.

1 спосіб.

Розглянемо трикутник АВС й побудуємо точку K, яка ділить сторону AB у відношенні 7 : 11, рахууючи від вершини A, та точку L, яка ділить сторону CA у відношенні 11 : 13, рахууючи від вершини C.

Нехай O - точка перетину відрізків CK та BL. Покажемо, що O - шукана точка. Зазначимо, що у трикутників ACK та BCK спільна висота, яка опущена з вершини С, тому відношення їх площин дорівнює відношенню основ

SACK : SBCK = AK : BK.

Аналогічно, SAOK : SBOK = AK : BK.

Застосовуючи властивість пропорції ( ), одержуємо

SAOС : SBOС = AK : BK = 7 : 11.

Аналогічно, розглядаючи дві пари трикутників з основами AL та СL, доводимо, що

SBOС : SAOВ = CL : AL = 11 : 13.

Отже, SAOС : SBOС : SAOВ = 7 : 11 : 13, що і необхідно було довести.

2 спосіб.

З теореми Чеви випливає, що пряма АO розділить сторону ВС у відношенні 13 : 7, рахууючи від вершини В. Якщо застосовувати теорему Чеви в обернену сторону, то до розвязку задачі можна було підійти інакше.

Нехай задано відрізок PQ, точка E, яка ділить його у відношенні p : q, де p та q - задані числа, й точка F, яка не належить прямій PQ. Аналогічно з наведеним розвязком можна довести, що геометричним місцем точок М площини, для яких SPFM : SQFM = p : q є пряма EF (за виключенням точок E та F).

Отже, для того, щоб побудувати шукану точку О можна розділити сторони АВ, ВС та СА трикутника АВС відповідно точками K, N та L так, щоб

AK : BK = 7 : 11; BN : CN = 13 : 7; CL : AL = 11 : 13.

Тоді, згідно з теоремою Чеви , отже, відрізки AN, BL та CK перетинаються в одній точці, яка й буде шуканою.

Задача 3.2. В трикутник вписано півколо так, що його діаметр лежить на стороні , а дуга дотикається сторін та відповідно в точках та . Довести, що прямі та перетинаються на висоті трикутника.

Доведення.

З умови задачі випливає, що точки та лежать на сторонах трикутника . Отже, достатньо довести, що

Центр півкола зєднаємо з точками дотику та (див. рисунок). Позначимо через радіус кола, з прямокутних трикутників та знаходимо

.

З прямокутних трикутників та маємо

.

Зазначимо, що відрізки та дотичних до кола рівні, отже отримаємо

.

Отже, згідно з теоремою Чеви прямі та перетинаються в одній точці.

Задача 3.3. Через вершини трикутника і точку , яка лежить всередині трикутника, проведені прямі, що перетинають сторони відповідно в точках , при цьому .

Довести, що , де - площа трикутника .

Як належить обрати точку , щоб площа трикутника була найбільшою?

Розвязок.

Позначимо площі трикутників , через .

Так як площі двох трикутників, які мають спільний кут, відносяться як добуток сторін, що утворюють цей кут, то

.

Аналогічно , .

Далі знаходимо

.

Підставив в цю рівність знайдені вище значення та прийняв до уваги, що в силу теореми Чеви , одержуємо:

.

Площа трикутника буде найбільшою при мінімальному значенні . Проведемо оцінку цього добутку.

Скористаємося нерівністю нерівність :

,

при цьому рівність має місце тоді й тільки тоді, коли .

Отже, шукана точка - точка перетину медіан трикутника , для якої .

Задача 3.4. Знайти в трикутнику таку точку , щоб добуток мав найбільшу величину ( - точки перетину прямих зі сторонами ).

Розвязок.

Проведемо медіани трикутника , які перетинаються в точці . Оскільки середнє геометричне двох величин не більше їх середнього арифметичного, то

, , .

Піднесемо кожну нерівність до квадрата та перемножимо:

Згідно з теоремою Чеви маємо

.

Отже,

.

Нерівність перетворюється в рівність у випадку збігу основ прямих Чеви з серединами відповідних сторін, отже, в цьому випадку добуток має найбільшу величину , де - сторони трикутника.Отже, шуканою точкою є точка перетину медіан трикутника.

Задача 3.5. Прямі перетинають сторони трикутника (або їхні продовження) у точках . Довести, що:

а) прямі, що проходять через середини сторін паралельно прямим , перетинаються в одній точці;

б) прямі, що зєднують середини сторін із серединами відрізків , перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай - середини сторін . Розглянуті прямі проходять через вершини трикутника , при цьому в задачі а) вони ділять його сторони в таких же відношеннях, у яких прямі ділять сторони трикутника , а в задачі б) - вони ділять їх у зворотних відношеннях. Залишається скористатись теоремою Чеви.

Задача 3.6. На сторонах трикутника взяті точки так, що відрізки перетинаються в одній точці. Прямі і перетинають пряму, що проходить через вершину паралельно стороні , в точках і відповідно. Довести, що .

Доведення.

Оскільки і , то

Тому

Задача 3.7. а) Нехай - довільні кути, при цьому сума будь-яких двох з них менше 180. На сторонах трикутника зовнішнім чином побудовані трикутники , що мають при вершинах кути . Довести, що прямі перетинаються в одній точці.

б) довести аналогічне твердження для трикутників, побудованих на сторонах трикутника внутрішнім чином.

Доведення.

Нехай прямі перетинають прямі в точках .

Якщо і , то

Останній вираз дорівнює у всіх випадках.

Аналогічно записуються вирази для і . Перемножуємо всі вирази і залишається скористатися теоремою Чеви.

Задача 3.8. Прямі перетинають прямі в точках відповідно. Точки обрані на прямих так, що

, , .

Довести, що прямі також перетинаються в одній точці (або паралельні). Такі точці і називають ізотомічно спряженими відносно трикутника .

Доведення очевидним чином випливає з теореми Чеви.

Задача 3.9. На сторонах трикутника взяті точки , при цьому прямі перетинаються в одній точці . Довести, що прямі

симетричні цим прямим відносно відповідних бісектрис, також перетинаються в одній точці . Такі точки і називають ізогонально спряженими відносно трикутника .

Доведення.

Можна вважати, що точки лежать на сторонах трикутника .

Згідно з теоремою Чеви в формі синусів

Оскільки прямі симетричні прямим відносно бісектрис, то , і т.д., тому

Отже,

,

тобто прямі перетинаються в одній точці.

Задачі для самостійної роботи

Задача 3.10. Протилежні сторони опуклого шестикутника попарно паралельні. Довести, що прямі, які зєднують середини протилежних сторін, перетинаються в одній точці.

Доведення

Нехай діагоналі і даного шестикутника перетинаються в точці ; і - середини сторін і . Оскільки - трапеція, відрізок проходить через точку . Згідно з теоремою синусів

, .

Оскільки і , то .

Аналогічні співвідношення можна записати і для відрізків, які зєднують середини двох інших пар протилежних сторін. Перемножуючи ці співвідношення, одержуємо необхідне.

Задача 3.11. Через точки і , що лежать на колі, проведено дотичні, які перетина-ються в точці . На дузі взяті точки і . Прямі і перетинаються в точці , і - у точці . Довести, що пряма проходить через точку .

Доведення.

Згідно з теоремою Чеви у формі синусів

Але.

Тому .

З цього випливає, що точки лежать на одній прямій, оскільки функція монотонна по :

Задача 3.12. а) На сторонах рівнобедреного трикутника з основою взяті точки так, що прямі перетинаються в одній точці. Довести, що

б) В середині рівнобедреного трикутника з основою взяті точки і так, що і . Довести, що точки лежать на одній прямій.

Доведення.

а) Згідно з теоремою Чеви

,

а по теоремі синусів

Підставляючи ці чотири рівності в попередню рівність, і враховуючи, що , одержуємо необхідне.

б) Позначимо точки перетину прямих і з основою через і . Потрібно довести, що . З а) випливає, що , тобто .

Задача 3.13. У трикутнику проведені бісектриси . Бісектриси перетинають відрізки та в точках . Довести, що .

Доведення.

Нехай відрізки і перетинають сторону в точках і . Тоді

Якщо - точка перетину бісектрис трикутника , то

,

отже,

.

Помітивши, що , і проводячи аналогічні обчислення для , одержимо .

Оскільки , то .

Задача 3.14. На сторонах трикутника взяті точки , при цьому перетинаються в одній точці. Довести, що .

Доведення

Нехай . Тоді

Згідно з теоремою Чеви

,

тобто .

Крім того,

Отже, .

Задача 3.15. На сторонах трикутника у зовнішню сторону побудовані квадрати. - середини протилежних сторін квадратів, побудованих на відповідно. Довести, що прямі перетинаються в одній точці.

Доведення.

Нехай - точки перетину прямих зі сторонами відповідно.

Відношення дорівнює відношенню висот, які опущено з точок та на сторону , тобто дорівнює відношенню .

Далі,

,

де .

Аналогічно,

, .

Перемножуючи ці рівності, маємо

.

Згідно з теоремою Чеви прямі перетинаються в одній точці.

Задача 3.16. Нехай з точки , яка взята зовні кола, проведені дві дотичні і до кола та дві січні, і нехай та - точки перетину кола з першою січною, а точки та - з другою. Тоді прямі і перетинаються в одній точці.

Доведення.

Застосуємо теорему Чеви до трикутника . Прямі і перетинаються в одній точці, якщо виконується рівність

(*)

Всі кути, що фігурують в останньому співвідношенні, - вписані в задане коло; синуси цих кутів пропорційні довжинам хорд, що стягаються ними (наприклад, , де - радіус кола).Тому рівність (*) еквівалентна такій рівності:

(**)

Покажемо, що (**) насправді виконується. З подоби трикутників й одержуємо . З подоби трикутників і маємо , і нарешті, з подоби трикутників і знаходимо .

Делись добром ;)