1.1 Задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений

Обыкновенными дифференциальными уравнениями можно описать поведение системы взаимодействующих частиц во внешних полях, процессы в электрических цепях, закономерности химической кинетики и многие другие явления. Поэтому решение обыкновенных дифференциальных уравнений занимает одно из важнейших мест среди прикладных задач физики, электроники, химии и техники.

Конкретная прикладная задача может приводить к дифференциальному уравнению любого порядка или к системе таких уравнений. Известно, что произвольную систему дифференциальных уравнений любого порядка можно привести к некоторой эквивалентной системе уравнений первого порядка. Среди таких систем выделим класс систем, разрешенных относительно производной неизвестных функций

(1)

Обычно требуется найти решение системы для значений x из заданного интервала .

Известно, что система (1) имеет бесконечное множество решений, семейство которых в общем случае зависит от m произвольных параметров и может быть записано в виде . Для определения значений этих параметров, т.е. для выделения одного нужного решения, надо наложить дополнительно m условий на функции . В зависимости от способа постановки дополнительных условий можно выделить два основных типа задач, наиболее часто встречающихся на практике:

краевая (граничная) задача, когда часть условий задается на границе a (при x = a), остальные условия - на границе b (при x = b). Обычно это значения искомых функций и их производных на границах;

задача Коши (задача с начальными условиями), когда все условия заданы в начале отрезка в виде

. (2)

При изложении методов решения задачи Коши воспользуемся компактной записью задачи (1), (2) в векторной форме.

. (3)

Требуется найти для a x b.