Теоретический анализ модели комплексного числа
§2. Свойства комплексных чисел
Мы предполагаем, что -- система комплексных чисел. Таким образом, для этой системы выполнены все названные в предыдущем разделе аксиомы.
Теорема 2.1. Всякое комплексное число можно представить и только одним способом в виде .
Доказательство. Предположим сначала, что для некоторых действительных чисел a, b, a1, b1. Поскольку -- поле, то . Если , то .
А это не может быть в силу теоремы о том, что в линейно упорядоченном кольце квадрат любого не равного нулю элемента положителен. Возможность представления легко следует из аксиомы минимальности.
Определение 2.1. Суммой комплексных чисел (a,bi) и (c,di) называется комплексное число .
Сумму обозначают знаком «плюс». Поэтому определение можно записать так: .
Так как сложение комплексных чисел сводится к сложению действительных чисел, то сложение комплексных чисел всегда выполнимо и однозначно.
Теорема 2.2. Сложение комплексных чисел коммутативно и ассоциативно.
Доказательство. Проведем для ассоциативного закона. Вычислим . С другой стороны, . Следовательно, .
Комплексное число является нулем, ибо для любого комплексного числа справедливо .
Обычным образом, как, например, для рациональных чисел, доказывается единственность нуля.
Для всякого комплексного числа (a,b) существует противоположное ему комплексное число, обозначаемое . Проверим, что . В самом деле, . Единственность противоположного число доказывается обычным образом.
Теорема 2.3. Вычитание комплексных чисел всегда выполнимо и однозначно.
Доказательство. Проверим, что . Для этого вычислим сумму .
Итак, . Последнее равенство удовлетворяет определению разности, следовательно, . Итак, вычитание выполнимо.
Докажем единственность разности. Пусть есть разность вида . Это значит, что . Прибавим к обеим частям . Получим . Этим доказана однозначность вычитания.
Определение 2.2. Произведением комплексных чисел и называется комплексное число .
Умножение обозначаем точкой, и определение тогда запишем так: .
Так как умножение комплексных чисел сводится к арифметическим действиям с действительными числами, то умножение всегда выполнимо и однозначно.
Теорема 2.4. Умножение комплексных чисел коммутативно, ассоциативно и дистрибутивно относительно сложения, т.е.:
1) ;
2) ;
3) ;
Доказательство. Проверим только дистрибутивный закон. Вычислим левую часть . Вычислим правую часть .
Как видим левая и правая части оказались равными одному и тому же комплексному числу. Следовательно, они равны, т.е.: .
Комплексное число является единицей, ибо для любого комплексного числа справедливо .
Единственность единицы проверяется обычным образом. Пусть есть единица. Тогда , ибо - единица. Но - тоже единица, поэтому . Из однозначности умножения следует, что.
Теорема 2.5. Для всякого комплексного числа существует обратное ему число, обозначаемое , т.е. такое, что их произведение равно единице.
Доказательство. Дано число , где или , т.е. . Найдем такое число , чтобы , откуда . Из определения равенства комплексных чисел следует
Определитель системы , следовательно, система имеет решение, притом единственное: , . Таким образом, .
Следствие. Деление комплексных чисел всегда выполнимо (исключая деление на нуль) и однозначно.
Проверим, что есть . Вычислим: .
Итак, . Последнее равенство удовлетворяет определению частного, следовательно, . Итак, деление выполнимо.
Докажем единственность частного. Пусть . Это значит, что . Умножив обе части на , получим . Этим доказана однозначность деления.
На основании изложенного можно заключить, что множество комплексных чисел С является полем.