Теоретический анализ модели комплексного числа

курсовая работа

§5. Непротиворечивость аксиоматической теории комплексных чисел

Теорема 5.1. Аксиоматическая теория комплексных чисел непротиворечива относительно аксиоматической теории действительных чисел.

Доказательство. Мы укажем модель данной теории. Пусть -- поле действительных чисел. Рассмотрим множество Р пар действительных чисел и определим на Р бинарные операции и (сложение и умножение) следующими условиями:

.

Нам известно, что -- поле. Выберем в Р подмножество R0 пар вида (а, 0). Сопоставим с каждым действительным числом а пару . Легко видеть, что ? -- взаимно-однозначное отображение R на R0. Далее, имеем:

.

Таким образом, ? -- изоморфное отображение на Следовательно: а) -- поле действительных чисел;

б) поле -- расширение поля .

Заметим также, что (1, 0) и (0,0) -- единица и нуль поля >. Полагаем . Имеем .

Итак, на системе выполняются первые 15 аксиом нашей теории. Пусть, наконец, М -- подмножество Р такое, что:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Докажем, что в таком случае любой элемент множества Р принадлежит множеству М. В самом деле, имеем .

Теорема доказана.

Делись добром ;)