Вычисление пределов с помощью формулы Тейлора
1.2 Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано
Теорема 2. Если существует, то
· Из существования следует, что функция f(x) определена и имеет производные до (n -- 1)-го порядка включительно в д-окрестности точки xо. Обозначим ц(х) = rn(x), ш(х) = (x-xо)n+1, где функция rn(x) определяется формулой (9). Функции ц(х) и ш(х) удовлетворяют условиям леммы 2, если заменить номер n + 1 на номер n -- 1 (см. равенства (10)). Используя лемму 2 и учитывая, что = 0, получаем
где е = е (x) и
(15)
Пусть , тогда из неравенств (15) следует, что , и в силу существования существует
= = так как выполняются равенства (10). Таким образом, правая часть формулы (14) имеет при предел, равный нулю, а поэтому существует предел левой части этой формулы, также равный нулю. Это означает, что = , или f(x) - Рn(х), = = откуда следует равенство (13). *
Замечание 2. Формулу (13) часто называют формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или локальной формулой Тейлора.
Разложить функцию f(x) по формуле Тейлора в окрестности точки до - значит представить ее в виде (13).
Теорема 3. Если существует и если при
то
· По теореме 2 справедлива формула (13), и так как по условию выполняется равенство (16), то
Переходя к пределу при в равенстве (18), получаем =.Отбросив в левой и правой частях этого равенства одинаковые слагаемые и и разделив обе части полученного равенства на, имеем
=.
Переходя в этом равенстве к пределу при , находим f (xo) = . Продолжая эти рассуждения, получаем равенства (17). *
Замечание 3. Теорема 3 означает, что представление в виде (16) функции, имеющей в точке хо производную n-го порядка, единственно: коэффициенты разложения (16) выражаются по формулам (17).
Пример 2. Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки x0 = 0 до о(хn).
Воспользуемся равенством (1 + x + ... +)(1 - x) = 1 - , откуда = = 1 + x + ... ++ , где = = о() при 0. Таким образом
= 1 + x + ... ++ о(). (19)
Так как функциябесконечно дифференцируема при x ? 1 (имеет производные любого порядка), то по теореме 3 формула (19) дает искомое разложение. ?