Теория вероятностей на уроках математики
§4. Операции над случайными событиями
п.1. Отношения между событиями.
Сравним следующие события: А - появление двух очков при бросании игральной кости., В-появление четного числа очков при бросании игральной кости.
Замечаем следующие соотношения между событиями, если произошло А, то тем самым произошло и В.
Событие А является частью события В состоит в осуществлении трех элементарных событий: "появление 2 очков", "появление 4 очков", "появление 6 очков", а событие А - одним из них - "появление двух очков".
Определение 1. Говорят, что событие А влечет за собой событие В (говорят так же, что В содержит, является следствием, включает А, А является частью В) и обозначают это символом АсВ (или ВэА), если все исходы, составляющие А, входят и в В.
Возможность представить события как подпространства пространства Е помогает геометрически проиллюстрировать соотношения А и В (рис 5).
Сопоставим следующие события: А-"появление герба при подбрасывании монеты", В - "не появление цифры при подбрасывании монеты".
Е1 |
Е2 |
Е3 |
Е4 |
Е5 |
Е6 |
Рис 5.
Если же монета не может укатиться и застрять в щели пола или встать на ребро, то можно ввести определение.
Определение 2. Если произошло событие А, то и произошло событие В, и в то же время, если произошло событие В, то произошло событие А. Символическая запись: АсВ и ВсА. Тогда запишем А=В, и будем говорить, что события А и В равносильны.
П.2. Объединение событий
Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, е6, а событию В элементарные события е8, е9, е10, е11, е12 (рис 6)
А
Е1 |
|||||
Е2 |
Е3 |
Е4 |
|||
Е5 |
Е6 |
||||
Е7 |
е10 |
||||
Е8 |
е11 |
||||
Е9 |
Е12 |
Е рис 6. С=АUB
А1
Е3 |
||||||
Е1 |
Е2 |
Е4 |
||||
Е5 |
Е6 |
Е7 |
||||
В1 |
Е8 |
|||||
Е рис.7
С1=А1UВ1
Пусть событию С благоприятствуют все элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки.
Событие С назовем объединением А и В. Оно обозначает, что произошло или А, или В.
Пусть теперь событию А1 благоприятствует элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В1 - элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки. (рис 7).
И на этот раз будем считать события С1 объединением событий А1 и В1. но поскольку е5 и е4благоприятсвуют и А1 и В1, то на этот раз означает, что произошло или А1, или В1, или то и другое вместе.
Обобщим и то и другое вместе.
Определение 3. Объединение событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А и В.
Такое соотношение принято обозначать символом U: С=АUВ.
В общем случае:
Определение 4. Объединение событий А1, А2, А3,…. Аn (или А1, или А2,…. ., или Аn, или несколько из них, или всех).
Символически А=А1UА2UА3U... . UАn.
Для случайных событий имеют место закономерности:
АUВ=ВUА
(АUВ) UС=АU(ВUС)
Для операций над событиями часто используют скобки, что бы показать, в какой последовательности следует производить действия.
Например, во второй закономерности (АUВ) UС означает, что сначала нужно найти сумму (объединение) событий А и В, а затем сумму получившегося события и С.
П.3. Пересечение событий
Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В - элементарные события (клетки) е3, е4, е5, е6, и е7 (рис 8.)
Пусть событию С благоприятствуют элементарные события, которые представлены заштрихованными клеточками (рис. 8).
Логично событие С назвать пересечением событий А и В. Оно означает, что произошло и А и В.
В таком случае применяется символ С=А?В.
В общем случае пересечение событий определяется так:
Определение 5. пересечение событий А1,A2, А3,…, Аn называется событие А, состоящее в одновременном использовании всех (и А1 и А2,…. и Аn) событий.
Символически: А=А1?А2?... ... ?Аn.
А |
||||||
Е1 |
Е2 |
Е3С |
||||
Е4 |
Е5 |
|||||
Е6 |
Е7 |
|||||
В |
||||||
Рис.8.
Примеры:
1. А-"входящий в подъезд человек-мужчина"
В-"входящий в подъезд человек светловолосый"
С-"входящий в подъезд человек светловолосый мужчина"
Событие С происходит при одновременном исполнении событий А и В, поэтому С=А?В.
2. произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем события:
А - "выбранные числа кратны 2"
В - "выбранные числа кратны 3"
С - "выбранные числа кратны 6
Событие С происходит, если одновременно происходят события А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не произойдет С.
Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, а событию В - е5, е6, е7 (рис 9)
Е1 |
Е2 |
|||||
Е3 |
Е4 |
Е5 |
Е6 |
|||
А |
Е7 |
|||||
В |
||||||
А?В=_
Рис.9.
Ясно, что совместное осуществление АиВ невозможно: элементарных событий, благоприятствующих и тому, и другому событию, нет.
Определение 6. два события АиВ, пересечение которых - невозможное событие (А?В=_), называются несовместимыми событиями.
Определение 7. два события АиВ называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее событию А, и событию В.
Рассмотрим следующие пары событий:
А1-"выпадение герба при подбрасывании монеты"
А2 - "невыпадение герба при подбрасывании монеты"
В1-"выздоровление больного"
В2-"невыздоровление больного"
С1-"появление новой кометы в текущем году"
С2-"непоявление новой кометы в текущем году"
Естественно события в каждой из пар считать противоположными.
Установим два свойства, которым удовлетворяет любая пара событий:
1. объединение событий каждой из пары - достоверное событие:
А1?А2=_
В1?В2=_
С1?С2=_
Определение 8. если определение событий А и В или В=А, если АиВ противоположные события.
На языке пространства элементарных событий противоположное событие А представляется дополнением события А в отношении всего пространства элементарных событий Е (рис 10).
А |
||||||
А |
||||||
Рис.10.