Теория вероятностей на уроках математики

дипломная работа

§4. Операции над случайными событиями

п.1. Отношения между событиями.

Сравним следующие события: А - появление двух очков при бросании игральной кости., В-появление четного числа очков при бросании игральной кости.

Замечаем следующие соотношения между событиями, если произошло А, то тем самым произошло и В.

Событие А является частью события В состоит в осуществлении трех элементарных событий: "появление 2 очков", "появление 4 очков", "появление 6 очков", а событие А - одним из них - "появление двух очков".

Определение 1. Говорят, что событие А влечет за собой событие В (говорят так же, что В содержит, является следствием, включает А, А является частью В) и обозначают это символом АсВ (или ВэА), если все исходы, составляющие А, входят и в В.

Возможность представить события как подпространства пространства Е помогает геометрически проиллюстрировать соотношения А и В (рис 5).

Сопоставим следующие события: А-"появление герба при подбрасывании монеты", В - "не появление цифры при подбрасывании монеты".

Е1

Е2

Е3

Е4

Е5

Е6

Рис 5.

Если же монета не может укатиться и застрять в щели пола или встать на ребро, то можно ввести определение.

Определение 2. Если произошло событие А, то и произошло событие В, и в то же время, если произошло событие В, то произошло событие А. Символическая запись: АсВ и ВсА. Тогда запишем А=В, и будем говорить, что события А и В равносильны.

П.2. Объединение событий

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, е6, а событию В элементарные события е8, е9, е10, е11, е12 (рис 6)

А

Е1

Е2

Е3

Е4

Е5

Е6

Е7

е10

Е8

е11

Е9

Е12

Е рис 6. С=АUB

А1

Е3

Е1

Е2

Е4

Е5

Е6

Е7

В1

Е8

Е рис.7

С1=А1UВ1

Пусть событию С благоприятствуют все элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки.

Событие С назовем объединением А и В. Оно обозначает, что произошло или А, или В.

Пусть теперь событию А1 благоприятствует элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В1 - элементарные события, которые представляют заштрихованные клетки. (рис 7).

И на этот раз будем считать события С1 объединением событий А1 и В1. но поскольку е5 и е4благоприятсвуют и А1 и В1, то на этот раз означает, что произошло или А1, или В1, или то и другое вместе.

Обобщим и то и другое вместе.

Определение 3. Объединение событий А и В называется событие С, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий А и В.

Такое соотношение принято обозначать символом U: С=АUВ.

В общем случае:

Определение 4. Объединение событий А1, А2, А3,…. Аn (или А1, или А2,…. ., или Аn, или несколько из них, или всех).

Символически А=А1UА2UА3U... . UАn.

Для случайных событий имеют место закономерности:

АUВ=ВUА

(АUВ) UС=АU(ВUС)

Для операций над событиями часто используют скобки, что бы показать, в какой последовательности следует производить действия.

Например, во второй закономерности (АUВ) UС означает, что сначала нужно найти сумму (объединение) событий А и В, а затем сумму получившегося события и С.

П.3. Пересечение событий

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, е5, а событию В - элементарные события (клетки) е3, е4, е5, е6, и е7 (рис 8.)

Пусть событию С благоприятствуют элементарные события, которые представлены заштрихованными клеточками (рис. 8).

Логично событие С назвать пересечением событий А и В. Оно означает, что произошло и А и В.

В таком случае применяется символ С=А?В.

В общем случае пересечение событий определяется так:

Определение 5. пересечение событий А1,A2, А3,…, Аn называется событие А, состоящее в одновременном использовании всех (и А1 и А2,…. и Аn) событий.

Символически: А=А1?А2?... ... ?Аn.

А

Е1

Е2

Е3С

Е4

Е5

Е6

Е7

В

Рис.8.

Примеры:

1. А-"входящий в подъезд человек-мужчина"

В-"входящий в подъезд человек светловолосый"

С-"входящий в подъезд человек светловолосый мужчина"

Событие С происходит при одновременном исполнении событий А и В, поэтому С=А?В.

2. произвольно выбираем два двузначных числа. Определяем события:

А - "выбранные числа кратны 2"

В - "выбранные числа кратны 3"

С - "выбранные числа кратны 6

Событие С происходит, если одновременно происходят события А и В. Если одно из событий А или В не произойдет, то не произойдет С.

Пусть событию А благоприятствуют элементарные события (клетки) е1, е2, е3, е4, а событию В - е5, е6, е7 (рис 9)

Е1

Е2

Е3

Е4

Е5

Е6

А

Е7

В

А?В=_

Рис.9.

Ясно, что совместное осуществление АиВ невозможно: элементарных событий, благоприятствующих и тому, и другому событию, нет.

Определение 6. два события АиВ, пересечение которых - невозможное событие (А?В=_), называются несовместимыми событиями.

Определение 7. два события АиВ называются совместимыми, когда существует по крайней мере одно элементарное событие, благоприятствующее событию А, и событию В.

Рассмотрим следующие пары событий:

А1-"выпадение герба при подбрасывании монеты"

А2 - "невыпадение герба при подбрасывании монеты"

В1-"выздоровление больного"

В2-"невыздоровление больного"

С1-"появление новой кометы в текущем году"

С2-"непоявление новой кометы в текущем году"

Естественно события в каждой из пар считать противоположными.

Установим два свойства, которым удовлетворяет любая пара событий:

1. объединение событий каждой из пары - достоверное событие:

А1?А2=_

В1?В2=_

С1?С2=_

Определение 8. если определение событий А и В или В=А, если АиВ противоположные события.

На языке пространства элементарных событий противоположное событие А представляется дополнением события А в отношении всего пространства элементарных событий Е (рис 10).

А

А

Рис.10.

Делись добром ;)