Теория вероятностей на уроках математики
§7. Теорема умножения вероятностей
Условная вероятность.
Второй основной теоремой теории вероятностей является терема умножения вероятностей.
Перед тем как излагать теорему умножения введем важное понятие: понятие о независимых и зависимых событиях.
Определение 1. событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет.
Определение 2. событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А является в зависимости от того, произошло ли событие В, или нет.
Примеры.
1) опыт состоит в бросании двух монет; рассматриваются события:
А-появления герба на первой монете
В-появление герба на второй монете
В данном случае вероятность события А не зависит от того, произошло ли событие В, или нет; событие А независимо от события В.
2) в урне два белых шара и один черный; два лица вынимают из урны по одному шару; рассматриваются события:
А-появление белого шара у первого лица
В-появление белого шара у второго лица
Вероятность события А до того, как известно что-либо о событие В, равна 2/3. если стало известно, что событие В произошло, то вероятность события А становится равной Ѕ, из чего заключаем что событие А зависит от события В.
Определение 3. вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А/В).
Условие независимости события А от события В можно записать в виде: Р(А/В) ?Р(А).
Сформулируем теорему умножения вероятностей.
Теорема. Вероятность произведения двух событий равна произведению одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место: Р(АВ) =Р(А) Р(В/А)
Докажем теорему для схемы случаев.
Пусть возможные исходы опыта сводятся n случаям. Изобразим их для наглядности в виде n точек:
…………………………………
Предположим, что событию А благоприятны m случаев, а событию В благоприятны k случаев. Т.к. мы не предполагали события АиВ несовместными, то вообще существуют случаи, благоприятные и событию А, и событию В одновременно. Пусть число таких случаев L. Тогда Р(АВ) = L/n; P(A) =m/n
Вычислим Р(В/А), т.е. условную вероятность события В в предположении, что А имело место.
Если известно, что событие А произошло, то из ранее возможных n случаев остаются возможными только те m, которые благоприятны событию А. из них L случаев благоприятны событию В. Следовательно, Р(В/А) =L
Подставляя выражения Р(АВ) и Р(А), Р(В/А) в формулу (1) получаем тождество. Теорема доказана.
При применении теоремы умножения безразлично, какое из событий А и В считать первым, а какое вторым, и теорему умножения можно записать так: Р(АВ) =Р(В) Р(А/В)
Следствие 1. если событие А не зависит от события В, то и событие В не зависит от события А.
Доказательство. Дано, что событие А не зависит от события В, т.е. Р(А) =Р(А/В).
Требуется доказать, что событие В не зависит от события А, т.е. Р(В) =Р(В/А) (2)
Будем предполагать, что Р(А) ?0.
Напишем теорему умножения вероятностей в двух формах:
Р(АВ) =Р(А) Р(В/А),
Р(АВ) =Р(В) Р(А/В), откуда
Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А/В) или согласно условию (2)
Р(А) Р(В/А) =Р(В) Р(А).
Разделим обе части последнего равенства на Р(А). получим:
Р(В/А) =Р(В), что и требовалось доказать.
Следствие 2. если событие А не зависит от события В, то справедливо равенство:
Р(АВ) =Р(А) Р(В) (3)
Доказательство. Событие А не зависит от события В, если выполняется равенство Р(А/В) =Р(А) (4)
По теореме о вероятности произведения двух событий Р(АВ) =Р(В) Р(А/В). (5)
Если в правой части равенства (5) заменить Р(А/В) на Р(В), то придем к (3), причем Р(В) ?0, то событие А не зависит от события В. Действительно из (3) следует, Р(А) = Р(АВ) чР(В) и следовательно, Р(А) =Р(А/В), что и требовалось доказать.
Пример 3.
В урне 2 белых и 3черных шара. Из урны вынимают подряд два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.
Решение:
А-появление двух белых шаров.
Событие А представляет собой произведение двух событий:
А=А1А2, где А1-появление белого шара, при первом вынимании, А2-появление белого шара при втором вынимании.
По теоремам умножения вероятности Р(А) =Р(А1) Р(А2/А1) =25*14=0,1.
Понятие независимости событий может быть распространено на случай произвольного числа событий.
Определение 4. несколько событий называются независимыми, если любое из них не зависит от любой совокупности остальных.