Теория вероятности

реферат

Сложение и умножение вероятности

ТЕОРЕМА

Имеются два события А и В. Вероятность суммы событий равна сумме вероятности этих событий.

P(A+B)=P(A)+P(B)

СЛЕДСТВИЕ 1

Вероятность суммы событий группы равна сумме вероятности событий этой группы.

СЛЕДСТВИЕ 2

Сумма противоположных событий равна единице.

ЗАДАЧА

Стрелок производит три выстрела в мишень. Вероятности попадания равны 0,5; 0,2; 0,1. Определить вероятность промаха стрелка.

А1 - первое попадание;

А2 - второе попадание;

А3 - третье попадание;

1) Х=А1+А2+ А3

Р(Х)=Р(А1)+Р(А2)+Р(А3) =0,5+0,2+0,1=0,8

2) Р(Х)+Р()=1

Р()=1-Р(Х)=1-0,8=0,2

ТЕОРЕМА

Имеются два события А и В. Вероятность произведений событий равна произведению вероятности этих событий.

СЛЕДСТВИЕ 1

Имеется группа событий А1, А2, …, Аn.

Произведение событий данной группы состоит в появлении каждого из событий одновременно.

СЛЕДСТВИЕ 2

Имеется группа событий А1, А2, …, Аn.

Х - событие, состоящее в появлении хотя бы одного из событий группы.

Тогда вероятность события

P(X)=1- Р(А1)* Р(А2)*… Р(Аn)=1-

ЗАДАЧА

Три стрелка производят по одному выстрелу в мишень. Вероятности попадания равны 0,9; 0,8; 0,7. Определить вероятность того, что:

1) в мишень одно попадание;

2) в мишень два попадания

А1 - попал первый стрелок;

А2 - попал второй стрелок;

А3 - попал третий стрелок.

1) Х - одно попадание

Х= А1*

P(X)=0,9*(1-0,8)*(1-0,7)+(1-0,9)*0,8*(1-0,7)+(1-0,9)*(1-0,8)*0,7=0,054+0,024+0,014=0,092

2) Х - два попадания

Х= А1*

Р(Х)= 0,9*0,8*0,3+0,1*0,8*0,7+0,9*0,2*0,7=0,216+0,056+0,126=0,398

ТЕОРЕМА

Имеются два зависимых события А и В. Тогда вероятность произведения событий равна произведению вероятности первого события и условной вероятности второго события.

События называются зависимыми, если вероятность появления одного из событий зависит от наступления другого.

Условной вероятностью называют вероятность появления одного из событий, вычисленной при предположении, что другое событие уже произошло.

ЗАДАЧА

Имеется корзина с десятью шарами (три белых и семь красных). Последовательно вынимают три шара. Определить вероятность того, что:

1) они будут белыми;

2) они будут одного цвета;

1) А1 - первый белый шар;

А2 - второй белый шар;

А3 - третий белый шар;

P(A1)=, так как n=

Х = А1*А2*А3

P(X)=

2) В1 - первый красный шар;

В2 - второй красный шар;

В3 - третий красный шар;

Х = А1*А2*А3+ В1*В2*В3

P(B1) =

ТЕОРЕМА

Пусть имеются 2 совместных события. Вероятность их суммы равна сумме вероятности этих событий минус вероятность их произведений.

Р(А+В)=P(A)+P(B)-P(A*B)

События A и В называют совместными, если появление одного из событий не исключает появления другого.

ЗАДАЧА

Произвольным образом выбирается целое положительное число. Определить вероятность того, что число:

1) Делится на 5 и на 7;

2) Делится на 5 или на 7;

3) Не делится на 15 и 18;

4) Не делится на 15 или на 18;

1) А1 - делится на 5

А2 - делится на 7

Х - делится на 5 и 7 (А1* А2)

Р(А1)=

Р(А2)=

Р(Х)= *=

2) Х=А1+А2

Р(Х)=Р(А1)+Р(А2)-Р(А1*А2) +-=

3) А1 - не делится на 15

А2 - не делится на 18

Х - не делится на 15 и 18 (А1* А2)

P(A1)= P()=

P(A2)= P()=

P(X)=

4) Р(Х)=Р(А1)+Р(А2)-Р(А1*А2)

ЗАДАЧА

Разрыв электрической цепи происходит в том случае, когда выходит их строя хотя бы один из трех элементов. Определить вероятность того, что не будет разрыва цепи, если элементы выходят из строя c вероятностью 0,3; 0,4; 0,6.

А1 - выйдет из строя первый элемент;

А2 - выйдет из строя второй элемент;

А3 - выйдет из строя третий элемент;

X - не будет разрыва цепи;

- будет разрыв цепи

= А1+А2+А3

P()=P(А1)+P(А2)+P(А3)- P(А1* А2)- P(А2*А3)- P(А1*А3)+ P(А1* А2*А3)=0,3+0,4+0,6-0,12-0,24-0,18+0,072=0,832

P(Х)=1- P()=1-0,832=0,168

Формула полной вероятности

Пусть имеется событие Х.

Оно наступает при появлении одного из событий А1, А2, …, Аn. Вероятность появления события Х вне зависимости от того, какое из событий наступило, вычисляется по формуле:

Событие Х - гипотеза вероятности.

ЗАДАЧА

Имеется три корзины. В первой - 3 белых и 5 черных шаров; во второй - 4 белых и 4 черных; в третьей - 5 белых и 3 черных шара. Из каждой корзины вынимается один шар.

Определить вероятность того, что он белый.

Х - белый шар

А1 - первая корзина;

А2 - вторая корзина;

А3 - третья корзина;

P(A1)=P(A2)=P(A3)=

Делись добром ;)