1.2 Различные подходы к определению понятия вектора в математике и в школьном курсе математики
Вектор является одним из фундаментальных понятий современной математики. Эволюция этого понятия осуществлялась благодаря широкому использованию его в различных областях математики, механики, а так же в технике.
Уже на уроках физики в 7 классе изложение материала ведется с широким привлечением векторного аппарата. Понятно, что это заставляет задуматься, прежде всего, над тем, как наиболее естественно ввести в курс математики средней школы понятие вектора, как эффективнее применять его при изложении теории и решении задач, как рассматривать основные действия над векторами.
Известно, что существует несколько подходов к ведению этого понятия.
В учебнике Л.Я. Куликова по алгебре [17] «n-мерным вектором над полем F (где F-поле скаляров) называется любой кортеж из n элементов поля F».
При таком подходе вектор обычно записывается в виде строки или столбца. Например, (б1, б2,…, бn), где бi-скаляры.
Вводится определение равных векторов.
Определение1: Векторы (б1, б2,…, бn) и (в1,в2,…, вn) называются равными, если бi=вi, .
Так же на множестве n-мерных векторов определены операции сложения, умножения вектора на скаляр.
Определение 2: Суммой векторов (б1, б2,…, бn) и (в1,в2,…, вn) называется вектор (б1+в1,б2+в2,…, бn+вn).
Определение 3: Произведением скаляра л на вектор (б1, б2,…, бn) называется вектор (лб1, лб2,…, лбn).
Определение 4: Вектор (0,0,…,0) называется нулевым вектором и обозначается символом 0. Нулевой вектор является нейтральным элементом относительно сложения.
Определение 5: Вектор (-1)(б1, б2,…, бn) называется вектором, противоположным вектору а=(б1, б2,…, бn), и обозначается символом - а.
Очевидно а+(-а)=0.
В теории линейной алгебры можно встретить другой, абстрактный подход. Например, в учебном пособии [4] вектор определяется как элемент векторного пространства V, который обладает рядом свойств:
1) () 1=;
2) () 0=;
3) () =;
4) () (-1)= -
В данном случае определение вектора вводится аксиоматически, через систему свойств.
В качестве векторных пространств в смысле этого определения можно привести следующие:
1. V2-множество векторов на плоскости. Тогда V2- векторное пространство над R.
2. С - векторное пространство над R, Q. R-векторное пространство над Q.
3. Нулевое векторное пространство V={} над Р.(+=, =).
Анализируя оба подхода к определению понятия вектора, лежащих в основе линейной алгебры, можно сделать вывод, что в данном случае геометрия полностью заменяется алгеброй, а все арифметические операции над векторами сводятся к аналогичным операциям над числами.
В геометрии к определению понятия вектора другой подход:
«Вектор - геометрический объект, характеризующийся направлением и длиной».
Кроме того, существуют различные конкретизации.
I. Предметом векторного исчисления служит вектор как множество сонаправленных отрезков, имеющих одинаковую длину.
Соответственно этому подходу векторы рассматривают с точностью до их положения (т.е. не различая равных векторов, получающихся друг из друга параллельным переносом). В этом смысле векторы называют свободными. Таким образом, свободные векторы вполне определяются заданием его длины и (если он не нулевой) направления. Равные векторы, не совпадающие по положению, рассматриваются как различные конкретные изображения одного и того же свободного вектора.
Данный подход имеет ряд преимуществ. Во-первых, он упрощает понятие равенства, а во-вторых, однозначно определяет операции для свободных векторов. Так, сумма двух свободных векторов есть определенный свободный вектор, тогда как, к примеру, суммой двух направленных отрезков служит любой из направленных отрезков, полученных соответствующим построением. Тем не менее, этот подход осложняется большим числом оговорок. Например, из начального курса физики хорошо известно, что сила может быть изображена направленным отрезком. Но она не может быть изображена вектором в смысле этого определения, поскольку силы, изображаемые равными направленными отрезками, производят, вообще говоря, различные действия. (Если сила действует на упругое тело, то изображающий её отрезок не может быть перенесен даже вдоль той прямой, на которой он лежит).
II. В основу теории движения заложено понятие вектора как параллельного переноса.
Параллельным переносом называется такое движение, при котором точки смещаются по параллельным прямым на одно и то же расстояние в одном и том же направлении. Действительно, задать параллельный перенос - это все равно, что задать длину (а именно расстояние, на которое смещаются все точки) и направление (а именно, направление, в котором смещаются все точки), а задать длину и направление - все равно, что задать свободный вектор.
В этом случае сложение векторов соответствует сочетанию (композиции) параллельных переносов.
Такое определение вектора позволяет устранить противоречия с теоретико-множественной точки зрения на понятие равенства, которое возникло при традиционном определении вектора как направленного отрезка. Кроме того, такой подход к введению понятия вектора является логически безупречным, но, между тем, он недостаточно нагляден.
III. В аналитической геометрии вектор определяется как направленный отрезок.
«Пара точек называется упорядоченной, если про эти точки известно, какая из них первая, а какая-вторая» [4, с. 15].
Определение 1: Отрезок, концы которого упорядочены, называется вектором. Нулевой вектор - вектор, у которого начало и конец вектора совпадают.
Определение 2: Векторы называются коллинеарными, если существует такая прямая, которой они параллельны.
Определение 3: Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной.
Определение 4: Два вектора называются равными, если они коллинеарные, одинаково направлены и имеют равные длины.
При данном подходе операции сложения векторов и умножения вектора на число определяются следующим образом:
Определение 5: Пусть даны 2 вектора и . Суммой называется вектор, который идет из начала вектора в конец вектора , при условии, что вектор приложен к концу вектора .
Определение 6: Пусть даны вектор и число . Обозначим их модули соответственно через и . Произведением называется вектор, который коллинеарен вектору , имеет длину, равную , и направление такое же, как у вектора , если >0, и противоположное, если <0.
Операция вычитания векторов определяется как операция, обратная сложению.
Определение 7: Разностью называется вектор, который в сумме с вектором составляет вектор .(разность двух векторов, приведенных к общему началу, есть вектор, идущий из конца «вычитаемого» вектора в конец «уменьшаемого»).
Данный подход к определению понятия вектора нагляден, но неоднозначно определяет результат операций над векторами.
Анализируя представленные подходы, необходимо отметить, что векторы, представляемые параллельными переносами, перемещением точек, направленными отрезками являются лишь изображения векторов, но не сами векторы в их общем понятии.
Приведем еще один подход к определению понятия вектора, автором которого является Вейль. Этот подход составляет основу векторного изложения геометрии [5].
Вейль относит вектор к числу первоначальных неопределяемых понятий. К ним же относится и понятие суммы векторов (некоторое правило, которое каждым двум векторам и однозначно сопоставляет вектор + ), умножение вектора на число, скалярное произведение векторов
Свойства арифметических операций над векторами автор описывает через систему аксиом. Он выделяет 5 групп аксиом.
1 группа: аксиомы сложения
1.1. ( и ) ;
1.2. (, , ) ;
1.3. ()(); вектор принято обозначать и называть нулевым вектором.
1.4. ()(); вектор принято обозначать и называть вектором, противоположным вектору .
2 группа: аксиомы умножения вектора на число
2.1. ( k, l, ) ;
2.2. ( k, , ) ;
2.3. ( k, l, ) ;
2.4. ()
3 группа: аксиомы размерности
3.1. Существует три линейно независимых вектора;
3.2. любые 4 вектора линейно зависимы
4 группа: аксиомы скалярного умножения векторов
4.1. (, ) ;
4.2.. ( k, , ) ;
4.3. (, , ) ;
4.4. (); умножение вектора на себя называется скалярным квадратом и обозначается 2. Длиной вектора называется число .
Все 4 группы аксиом справедливы для множества R3 - множества всех векторов. Кроме этого множества Вейль рассматривает непустое множество Е3, элементами которого являются точки. Точка, как и вектор, относится к числу неопределяемых понятий. К ним же относится и некоторое правило, которое каждой упорядоченной паре А, В ставится в соответствии вектор .
В связи с этими понятиями Вейль приводит 5 группу аксиом: аксиомы точек:
5.1. ( т. А, В, С)
5.2. ( т. А, ) (В) =
5.3.. ( т. А, В) =А=В
На основе приведенных определений и аксиом Вейль вводит различные основные понятия геометрии, доказывает теоремы.
Такой подход к определению понятия вектора достаточно громоздкий. Кроме того, при таком подходе затруднено понятие результата выполнения арифметических действий над векторами. Тем не менее, этот подход обладает рядом преимуществ: при векторном изложении некоторые теоремы геометрии доказываются значительно проще, чем при традиционном изложении.
Итак, в математике существуют различные подходы к определению понятия вектора. Каждый из них имеет преимущества и недостатки. Однако никакой из них не может быть «перенесен» в школьный курс геометрии без должных оговорок.
Рассмотрим специфику изложения темы «Векторы» в различных школьных учебниках по геометрии.
Прежде всего, обратимся к истории. Как же предполагалось изучать векторы?
В учебном пособии [10] под редакцией А.Н. Колмогорова вектор определялся как параллельный перенос плоскости: «Параллельным переносом (вектором) называется отображение плоскости на себя, при котором все точки плоскости изображаются в одном и том же направлении на одно и то же расстояние».
Это определение обладает тем важным преимуществом, что параллельный перенос представляет свободный вектор, и потому все векторные операции с ним определяются как однозначные. При таком определении вектора векторное исчисление может быть изложено без противоречий и смешения понятий.
Однако если обратиться к задачам, предлагаемым в учебнике, то сразу видно, что в них фигурируют направленные отрезки, а не переносы плоскости или пространства.
В следующем пособии для 9-10 классов [11] (под редакцией З.А. Скопеца), вектор определяется уже как параллельный перенос пространства. «Параллельным переносом, определяемым парой (А, В) несовпадающих точек, называется преобразование пространства, при котором каждая точка М отображается на такую точку М1, что луч ММ1 сонаправлен с лучом АВ, расстояние ММ1равно расстоянию АВ». Таким образом, вектор вводился как множество пар точек, задающих один и тот же перенос.
В последнем издании учебника под редакцией А.Н. Колмогорова явно вводится понятие свободного вектора, и перенос привлекается только как его изображение. В результате изложение оказалось существенно лучше, чем в других учебниках для 6-8 классов того времени, без путаницы и ошибок.
В перестройке школьного курса геометрии, происходящей в середине 80-х годов ХХ века, одним из центральных моментов оказалось коренное изменение понятия о векторе. Вектор, определяемый как параллельный перенос плоскости или пространства, был заменен направленным отрезком: на место отображения плоскости или пространства на себя поставлена фигура с «отмеченной» точкой (один конец отрезка «отмечен» как начало).
Проведем обзор введения понятия вектора в современных учебниках.
В учебнике А.В. Погорелова [21] изложение темы начинается следующим образом: «Вектором мы будем называть направленный отрезок. Направление вектора определяется указанием его начала и конца… Для обозначения векторов будем пользоваться строчными латинскими буквами а, b, c,… Можно так же обозначить вектор указанием его начала и конца. При этом начало вектора ставится на первое место» [21, c. 117].
«Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор».
Проведем анализ данного подхода. Назвав направленный отрезок вектором, автор не объяснил, не определил, что называется направленным отрезком. Поэтому и конкретное определение вектора отсутствует. Говорится только о направлении вектора - «отмечается стрелкой», хотя «стрелка» - это не геометрическое понятие.
При введении обозначений не понятно, что называется началом и концом вектора. Это происходит оттого, что опять же не дано определение направленного отрезка, который «направлен» тем, что указан порядок его концов.
Модулем вектора названа «длина отрезка, изображающего вектор». Таким образом, выходит, что направленный отрезок, который назван вектором, изображает вектор. Получается некоторого рода тавтология. (Направленный отрезок и есть изображение вектора, а не сам вектор, как его понимают в векторном исчислении.)
Далее определяется равенство векторов - направленных отрезков: они равны, если совмещаются параллельным переносом. Перенос же был определен ранее формулами х=х+а, у=у+b в прямоугольных координатах. Однако, то, что это определение не зависит от выбора системы координат, не оговаривается. Таким образом, принципиальный момент независимости определения от выбора системы координат оказался скрытым.
Затем вводятся координаты вектора, и операции с векторами определяются через операции с их координатами; исходный геометрический смысл этих операций отодвигается на второй план, так что получается искаженное представление векторного исчисления, которое создано и применяется как геометрическое исчисление, чтобы обходиться, насколько возможно, без координат.
К тому же получается непоследовательность: понятие вектора определяется посредством наглядного образа направленного отрезка, а в определении действий этот образ не используется. Кроме того, координаты задают не вектор как направленный отрезок, а свободный вектор: у всех равных векторов координаты одни и те же. Поэтому фактически определяются операции со свободными векторами. Таким образом, вместо исчисления векторов подается исчисление пар чисел с геометрической интерпретацией.
Так координаты вытесняют геометрию. Этот факт хорошо прослеживается при формулировке теорем и их доказательств. Например, при доказательстве того, что векторы и противоположно направлены, используют координаты (пользуются правилом умножения вектора на число, в частности на -1), тогда как ответ был бы очевиден, если геометрически определено, что значит противоположно направленные векторы (но такое определение не дано).
Положительным моментом является рассмотрение физического приложения векторов в § 95 - «Сложение сил». В нем вводится равнодействующая нескольких сил, и определяется их изображение. Приведен пример решения задачи из физики.
В задачном материале А.В. Погорелов рассматривает следующие виды заданий:
- Доказательство равенства векторов;
- Доказательство перпендикулярности векторов;
- Вычисление угла между векторами.
Основным теоретическим базисом при решении этих задач являются определения равенства векторов и скалярного произведения векторов. Надо отметить, что аппаратом решения заданий становятся формальные действия с координатами, т.е. геометрическое приложение векторов опускается.
Также автор предлагает 2 содержательные задачи. Их требование - найти угол между прямыми.
В учебнике Л.С. Атанасяна и др. [8] вектор так же определяется как направленный отрезок, но изложение строится иначе, чем в учебнике А.В. Погорелова.
В параграфе «Понятие вектора» п.1 начинается так: «Многие физические величины, например сила, перемещение материальной точки, скорость, характеризуются не только своим числовым значением, но и направлением в пространстве. Такие физические величины называются векторными величинами или векторами».
Далее, после приведения примера изображения силы в физике, говорится: «Отвлекаясь от конкретных свойств физических векторных величин, мы приходим к геометрическому понятию вектора… Определение. Отрезок, для которого указано, какой из его концов считается началом, а какой - концом, называется направленным отрезком или вектором.
Недостаток этого изложения состоит в том, что дается два понятия вектора без должных оговорок. Однако авторы не могут оставить определение вектора как направленного отрезка. В конце §1 они делают важное замечание.
«Замечание. Равные векторы, отложенные от разных точек, часто обозначают одной и той же буквой. Иногда про такие векторы говорят, что это один и тот же вектор, но отложенный от разных точек». По сути, здесь говорится о свободном векторе. Но само определение этого понятия не вводится.
Описав сложение векторов по правилу треугольника, когда первое слагаемое откладывается от точки А, так что , авторы пишут: «Докажем, что если… точку А, от которой откладывается вектор , заменить другой точкой А1, то вектор заменится равным ему вектором ». Таким образом, сумма представляется неоднозначной: ее представляют бесконечно много (хотя и равных) направленных отрезков. Это вносит некоторую неопределенность, хотя и логично с точки зрения подхода, изложенного в данном учебнике.
Так же недостаток изложения состоит еще в том, что в учебнике некоторые важнейшие свойства векторов принимаются без доказательства, хотя их можно было бы доказать доступно для учащихся. Так, свойствам произведения вектора на число дается только геометрическая интерпретация.
Задачный материал в учебнике Л.С. Атанасяна направлен на осознание, осмысление вводимых дидактических единиц. Он служит своеобразным пропедевтическим курсом для решения задач векторным методом.
Содержательных задач в главе немного, но они разнотипны. Ключевые из них решены в учебнике.
В учебнике И.Ф. Шарыгина [31] вектор так же определяется через направленный отрезок: «Рассмотрим на плоскости две точки А и В. Обозначим через вектор АВ, понимая под этим направленный отрезок АВ, т.е. отрезок, у которого точка А является началом, а точка В концом».
Автор не вводит определения сонаправленных и коллинеарных векторов, поэтому понятие равенства состоит из двух утверждений: «Два вектора и , расположенные на одной прямой, считаются равными, если равны отрезки АВ и CD, т.е. равны длины этих векторов, а лучи АВ и CD задают одинаковые направления.
Если же векторы и не расположены на одной прямой, то они считаются равными, если четырехугольник АВDC является параллелограмом».
Такое определение достаточно сложно для понимания учащимися. Каждый раз при доказательстве равенства векторов требуется достраивание до четырехугольника, что не всегда удобно, и показывать, что он является параллелограммом.
Далее говорится: «Таким образом, мы можем вектор не только перемещать вдоль соответствующей прямой, но и переносить его начало в любую точку плоскости». Тем самым автор высказывает идею о свободном векторе.
Так же, как и А.В. Погорелов, И.Ф. Шарыгин вводит координаты вектора, и на их основе определяет операции с векторами.
В связи с этим, и основным способом решения задач по учебному пособию И.Ф. Шарыгина становится выражение векторов через координаты, произведение с ними арифметических действий.
Автор предлагает задания на отработку понятия скалярного произведения векторов. Он приводит следующие виды метрических задач:
- найти угол между прямой и плоскостью;
- найти угол между плоскостями;
- доказательство того факта, что сумма косинусов двугранных углов любого тетраэдра не больше двух;
- доказательство того, что все три угла между биссектрисами плоских углов трехгранного угла одновременно либо острые, либо прямые, либо тупые.
Также И.Ф. Шарыгин предлагает для решения достаточное количество содержательных задач, методом решения которых может стать векторный.
В учебнике А.Д. Александорова [2] понятие вектора вводится аналогично подходу, изложенному у Л.С. Атанасяна.
«Величины, которые характеризуются не только численным значением, но и направлением, называются векторными величинами или векторами. Численное значение вектора называется его модулем».
Далее автор выделяет пункт «Направленные отрезки».
«…Если тело переместилось из точки А в точку В, то это перемещение естественно изобразить отрезком, направленным из точки А в точку В…У направленного отрезка указан порядок концов.» После этого автор обращает внимание учащихся на то, что направленный отрезок - лишь изображение вектора, а не сам вектор в общем понимании.
В отличие от Л.С. Атанасяна, А.Д. Александров доказывает, что отношение равенства на множестве векторов обладает отношением эквивалентности, выделяя тем самым следующие свойства:
1. Каждый вектор равен самому себе.
2. Если вектор равен вектору , то равен .
3. Два вектора, равные третьему вектору, равны.
Однако, в отличие от остальных авторов, А.Д. Александров не вводит понятие компланарных векторов. Он определяет следующие способы разложения вектора: по прямой и плоскости, по трем прямым. Предлагает для решения задачи на отработку этих умений.
Кроме того, А.Д. Александров приводит задачи на геометрическую интерпретацию векторов:
- Отложить вектор, равный сумме двух или более данных;
- Отложить вектор, равный разности двух векторов;
- Доказать векторные равенства, пользуясь изображением параллелепипеда.
Анализируя представленные подходы, можно сделать вывод, что все авторы в той или иной степени стремятся дать определение свободного вектора. Это делается у различных авторов по-разному. Дело в том, что если понимать вектор как любой из равных направленных отрезков, то нужно только определить, что значит, что эти отрезки одинаково направлены, а это можно определить достаточно просто, через сонаправленные лучи, например, как сделано в учебнике А.Н. Колмогорова. (Но в этом учебнике транзитивность сонаправленности не доказана.) В учебнике Л.С. Атанасяна и др. полного определения нет, а у А.В. Погорелова оно опирается на понятие параллельного переноса, определение которого сложно, поскольку использует координаты.
В заключении приведем цитату из статьи А.Д. Александрова: «Определение вектора как направленного отрезка, рассматриваемого с точностью до выбора начала, может показаться настолько расплывчатым и не подходящим под установившиеся стандарты определений. Но оно выражает то, как в действительности понимают вектор, и потому на самом деле применяют, а не так, что дается определение, заучивается, а затем применяется другое определение.
Определения нужны не для заучивания, а для уточнения понимания. Нужно добиваться не пустого заучивания, а действенного, т.е. работающих в применениях понимания» [3, с. 45].
- Введение
- Глава 1. Теоретические и методические особенности изучения векторного метода в школьном курсе геометрии
- 1.1 История возникновения и становления аналитических методов
- 1.2 Различные подходы к определению понятия вектора в математике и в школьном курсе математики
- 1.3 Обучение решению задач как психологическая и методическая проблема
- 2. Методика обучения математике младших школьников как педагогическая наука и как сфера практической деятельности
- Интерактивные методы обучения младших школьников
- 2. Теория и методика обучения предмету
- 2. Методика обучения математике младших школьников как педагогическая наука и как сфера практической деятельности
- Лекция 9. Особенности изучения стереометрии в средней школе. Методика первых уроков стереометрии.
- Лекция 11. Методика изучения координат, векторов и геометрических преобразований в пространстве в школьном курсе стереометрии.
- Теория и методика воспитания младших школьников
- «Теория и методика обучения русскому языку»