Аксіоматика шкільного курсу геометрії

курсовая работа

2.2 Система аксіом О.Д. Александрова

Спроба аксіоматичної побудови курсу геометрії для учнів шкіл і класів з поглибленим вивченням математики здійснена авторським колективом під керівництвом академіка О.Д. Александрова у навчальних посібниках з геометрії для 8-9 і 10-11 класів. Формулювання аксіом у цих посібниках передбачає, що учням відома арифметика дійсних чисел і поняття додатної величини.

Основні обєкти планіметрії: точка і пряма.

Основні відношення: належність (для точки і прямої), лежати між (для трьох точок, які лежать на одній прямій).

Система аксіом розбита на пять груп.

I група: Аксіоми належності

1.1. Через кожні дві точки проходить пряма, і притому тільки одна.

1.2. На кожній прямій існує принаймні дві точки. Існують принаймні три точки, які не лежать на одній прямій.

II група: Аксіоми порядку

2.1. Із кожних трьох точок на прямій одна і тільки одна лежить між двома іншими.

2.2. Кожна пряма розбиває площину на дві півплощини. Перед формулюванням аксіоми 2.2 вводиться поняття відрізка і півплощини, а після неї - поняття променя.

III група. Аксіоми відстані

3.1. Кожним двом точкам ставиться у відповідність додатна величина, яка називається відстанню між цими точками.

Вводиться позначення відстані між точками А і В: |АВ| або |ВА|

3.2. Для будь-якої відстані г на заданому промені з початком О існує точка А, для якої |ОА| = г.

Цю аксіому ще називають аксіомою відкладання відрізка.

3.3. Якщо точка В лежить між точками А і С, то |АВ| + |ВС| = |АС| (аксіома адитивності довжини відрізка).

3.4. Для будь-яких трьох точок А, В, С має місце нерівність |АВ| + |ВС| > |АС|.

Далі вводиться поняття руху як відображення, при якому зберігаються відстані.

IV група. Аксіоми рухомості

4.1. Нехай промінь 1 з початком у точці О лежить на межі півплощини а, а промінь 1 з початком у точці О лежить на межі півплощини а. Тоді існує такий рух, який переводить точку О в. (У, промінь / в Р і швплощину а в а.

V група. Аксіоми паралельності Евкліда

5.1. Для кожної прямої а і кожної точки А, яка не лежить на прямій а, існує не більше однієї прямої, що проходить через точку А і не перетинає прямої а.

Переходячи до стереометрії, зазначимо, що поняття площини в даній системі аксіом не є неозначуваним.

Означення. Площиною називається фігура, на якій виконується планіметрія і для якої справджуються аксіоми стереометрії.

Аксіоми стереометрії

Аксіома 1 (аксіома площини). У просторі існують площини. Через кожні три точки простору проходить площина. З цієї аксіоми випливає, що в просторі існує більше однієї площини.

Аксіома 2 (аксіома перетину площин). Якщо дві площини мають спільну точку, то їх перетином є їх спільна пряма.

Аксіома 3 (аксіома належності прямої площині). Якщо пряма проходить через дві точки даної площини, то вона лежить у цій площині.

Перед формулюванням наступної аксіоми вводиться поняття півплощини.

Аксіома 4 (аксіома розбиття простору площиною). Кожна площина розбиває простір на два півпростори.

Аксіома 5 (аксіома відстані). Відстань між будь-якими двома точками простору не залежить від того, на якій площині, що містить точки, вона виміряна.

Після того як вибрано одиничний відрізок, довжина кожного відрізка виражається додатним числом.

Аксіома відстані надає можливість порівнювати фігури на різних площинах, зокрема застосувавши теореми про рівність і подібність трикутників, розміщених у різних площинах.

Зазначимо, що знову є лише вказівка на те, що планіметрію можна побудувати аксіоматичне на основі перелічених аксіом, але фактично це не реалізовано.

Делись добром ;)