Теория множеств

курсовая работа

Глава IV. Счетные множества

Множество назовем СЧЕТНЫМ, если оно эквивалентно множеству натуральных чисел.

Таким образом, возможность «пронумеровать» элементы множества определяет его счетность. Эта задача далеко не всегда решается просто.

Отметим некоторые свойства счетных множеств.

1. Из всякого бесконечного множества можно выделить счетное.

Действительно, если множество A бесконечно, то счетное множество N можно построить следующим образом. Выделим в качестве первого элемента множества N, например, элемент множества A. Так как A бесконечно, то исключение из него одного элемента сохранит его бесконечность. Далее отделим от оставшегося множества элемент , присоединив его к множеству N, потом из бесконечного множества отделим элемент , присоединив к N, и так далее. Множество N примет вид: и будет счетным.

2. Всякое бесконечное подмножество счетного множества тоже счетно.

Если множество A счетно, а B - его бесконечное подмножество, то, последовательно перебирая элементы множества A, мы будем встречать элементы множества B и, нумеруя их, получим бесконечное счетное множество.

3. Объединение любого конечного или счетного множества счетных множеств есть счетное множество.

Для доказательства этого свойства рассмотрим счетные множества:

Сформируем из этих множеств новое множество

Оно образуется так, что вначале располагается элемент , затем идут элементы, у которых сумма индексов равна 3, потом 4, и так далее. Такое множество охватывает все элементы множеств и само является счетным.

Рассматривая свойства счетных множеств, мы стремились доказать счетность тех или иных бесконечных множеств. Однако все ли бесконечные множества счетны? Чтобы обнаружить несчетные множества, пришлось преодолеть немало трудностей. И Б. Больцано, и Г. Кантор, чувствуя, что идея установления взаимно однозначного соответствия есть ключ к поиску мощности бесконечных множеств, были близки к решению вопроса одновременно. Б. Больцано первым пришел к способу оценки бесконечных множеств путем установления взаимно однозначного соответствия, а Г. Кантор первым сумел найти несчетное множество Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. - М.: 2000 - С.259.

ТЕОРЕМА. Отрезок числовой прямой содержит несчетное множество точек.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Предположим противное: - счетное множество точек. Пронумеруем их:

Любая ли точка этого отрезка оказывается включенной в данную последовательность?

Для доказательства теоремы следует найти такую точку на отрезке , которая не охватывается данной последовательностью.

Для этого разделим отрезок на три равные части (рис. 8). Получим отрезки:

Рис. 8. Построение точки, не входящей в последовательность .

Хотя бы на одном из них нет точки . Выделив его, делим новый отрезок, являющийся подмножеством отрезка , снова на три равные части и выделим ту, на которой нет точки (на этой трети не будет и точки , и точки , как это было установлено выше). Далее новый отрезок опять делим на три равные части и выбираем ту из них, где нет точки а3 (как показано, точек и на ней также не будет), и так далее. В результате на n-м шаге мы получаем отрезок длины , на котором нет точек ,,,...,. Продолжая бесконечно этот процесс, мы находим точку а, которая не включена в последовательность

Действительно, а - общая точка этих отрезков. Будучи точкой отрезка , она должна входить в указанную последовательность, но это невозможно, потому что, какое бы n мы ни взяли, точка аn не может принадлежать соответствующему отрезку, а точка а будет ему принадлежать, следовательно, а отлична от всех аn, что и доказывает теорему.

Мощность множеств, эквивалентных отрезку , назовем МОЩНОСТЬЮ КОНТИНУУМА и обозначим буквой c.

Укажем некоторые из этих множеств.

Рассмотрим отрезок . Формула

,

устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством и множеством . Следовательно, имеет мощность континуума.

Кроме того, множества:

и -

имеют ту же мощность континуума c, так как отличаются от множества конечным числом точек, что сохраняет их мощность.

Совершенно неожиданный результат получил Г. Кантор, предполагая первоначально, что квадрат со стороной, равной 1, содержит больше точек, чем отрезок . Множества эти оказались эквивалентными.

Рис. 9. Взаимно однозначное соответствие между точками внутри квадрата и точками интервала .

Сравнение множества натуральных чисел, являющегося счетным, и несчетного множества точек отрезка вызывает вопрос: имеются ли множества промежуточной мощности? Иначе говоря, есть ли бесконечное множество, в котором количество элементов больше, чем натуральных чисел, и меньше, чем точек на отрезке ? Это есть знаменитая проблема КОНТИНУУМА, которая до сих пор волнует многих математиков. В начале шестидесятых годов этого столетия было установлено, что существуют как системы аксиом, в которых гипотеза континуума истинна, так и аксиоматические построения, в которых она ложна Ларин А. А. Курс высшей математики. М.: 2001 - С.367.

В теории множеств доказаны следующие интересные утверждения:

1. Для любого множества A существует множество большей мощности.

2. Множества самой большой мощности не существует.

3. Множество всех подмножеств множества A имеет мощность большую, чем мощность A.

4. Множество всех подмножеств счетного множества имеет мощность континуума.

Теория множеств полна проблем и парадоксов, которые и в настоящее время вызывают интерес у исследователей. Вот, например, парадокс Б. Рассела.

Пусть M - множество всех множеств, а N - множество всех его подмножеств. Тогда мощность множества N всех подмножеств должна быть больше мощности множества M (по утверждению 3). Но N - подмножество или N=M.

Делись добром ;)