2.1 Область целостности

Область целостности (или целостное кольцо, или область цельности) -- понятие абстрактной алгебры: ассоциативное коммутативное кольцо с единицей, в котором 0?1 и произведение двух ненулевых элементов не равно нулю. Условие 0?1 исключает из рассмотрения тривиальное кольцо {0}.

Эквивалентное определение: область целостности -- это ассоциативное коммутативное кольцо, в котором нулевой идеал {0} является простым. Любая область целостности является подкольцом своего поля частных.

Примеры

· Простейший пример области целостности -- кольцо целых чисел .

· Любое поле является областью целостности. С другой стороны, любая артинова область целостности есть поле. В частности, все конечные области целостности суть конечные поля.

· Кольцо многочленов с коэффициентами из некоторого целостного кольца также является целостным. Например, целостными будут кольцо многочленов одной переменной с целочисленными коэффициентами и кольцо многочленов двух переменных с вещественными коэффициентами.

· Множество действительных чисел вида есть подкольцо поля , а значит, и область целостности. То же самое можно сказать про множество комплексных чисел вида a + bi, где a и b целые (множество Гауссовых целых).

· Пусть U -- связное открытое подмножество комплексной плоскости . Тогда кольцо H(U) всех голоморфных функций будет целостным. То же самое верно для любого кольца аналитических функций, определённых на связном подмножестве аналитического многообразия.

· Если K -- коммутативное кольцо, а I -- идеал в K, то факторкольцо K / I целостное тогда и только тогда, когда I -- простой идеал.

Делимость, простые и неприводимые элементы

Пусть a и b -- элементы целостного кольца K. Говорят, что «a делит b» или «a -- делитель b» (и пишут ), если и только если существует элемент такой, что ax = b.

Делимость транзитивна: если a делит b и b делит c, то a делит c. Если a делит b и c, то a делит также их сумму b + c и разность b - c.

Для кольца K с единицей элементы , которые делят 1, называются делителями единицы, а иногда и просто единицами. Они и только они, обратимы в K. Единицы делят все остальные элементы кольца.

Элементы a и b называются ассоциированными, если a делит b и b делит a. a и b ассоциированны тогда и только тогда, когда a = b * e, где e -- обратимый элемент.

Необратимый элемент q целостного кольца называется неприводимым, если его нельзя разложить в произведение двух необратимых элементов.

Ненулевой необратимый элемент p называется простым, если из того, что , следует или . Это определение обобщает понятие простого числа в кольце , однако учитывает и отрицательные простые числа. Если p -- простой элемент кольца, то порождаемый им главный идеал (p) будет простым. Любой простой элемент неприводим, но обратное верно не во всех областях целостности.

Свойства

· Любое поле, а также любое кольцо с единицей, содержащееся в некотором поле, является областью целостности.

Обратно, любая область целостности может быть вложена в некоторое поле. Такое вложение дает конструкция поля частных.

· Если A Ї область целостности, то кольцо многочленов и кольцо формальных степенных рядов над A также будут областями целостности.

· Если A Ї коммутативное кольцо с единицей и I Ї некоторый идеал в A, то кольцо A / I является областью целостности тогда и только тогда, когда идеал I прост.

· Кольцо будет областью целостности тогда и только тогда, когда его спектр есть неприводимое топологическое пространство.

· Прямое произведение колец никогда не бывает областью целостности, так как единица первого кольца, умноженная на единицу второго кольца, даст 0.

· Тензорное произведение целостных колец тоже будет целостным кольцом.

Вариации и обобщения

Иногда в определении области целостности не требуют коммутативности. Примерами некоммутативных областей целостности являются тела, а также подкольца тел, содержащие единицу, например целые кватернионы. Однако, вообще говоря, неверно, что любая некоммутативная область целостности может быть вложена в некоторое тело.