Теория поверхностей в задачах и примерах

дипломная работа

1.1 Элементарная поверхность. Простая поверхность. Общая поверхность

Поверхность, одно из основных геометрических понятий. При логическом уточнении этого понятия в разных отделах геометрии ему придаётся различный смысл.

В школьном курсе геометрии рассматриваются плоскости, многогранники, а также некоторые кривые поверхности. Каждая из кривых поверхностей определяется специальным способом, чаще всего как множество точек, удовлетворяющих некоторым условиям. Например, поверхность шара -- множество точек, отстоящих на заданном расстоянии от данной точки. Понятие «Поверхность» лишь поясняется, а не определяется. Например, говорят, что поверхность есть граница тела или след движущейся линии.

Математически строгое определение поверхности основывается на понятиях топологии. При этом основным является понятие простой поверхности, которую можно представить как кусок плоскости, подвергнутый непрерывным деформациям (растяжениям, сжатиям и изгибаниям). Более точно, простой поверхностью называется образ гомеоморфного отображения (т. е. взаимно однозначного и взаимно непрерывного отображения) внутренности квадрата.

В дифференциальной геометрии, исследуемые поверхности обычно подчинены условиям, связанным с возможностью применения методов дифференциального исчисления. Как правило, это -- условия гладкости поверхности, т. е. существования в каждой точке поверхности определённой касательной плоскости, кривизны и т.д.

В аналитической геометрии и в алгебраической геометрии поверхность определяется как множество точек, координаты которых удовлетворяют определённому виду уравнений: .

Таким образом, определённая поверхность может и не иметь наглядного геометрического образа. В этом случае для сохранения общности говорят о мнимых поверхностях. Например, уравнение мнимой сферы, хотя в действительном пространстве нет ни одной точки, координаты которой удовлетворяют ее уравнению. Если функция непрерывна в некоторой точке и имеет в ней непрерывные частные производные , из которых хотя бы одна не обращается в нуль, то в окрестности этой точки поверхности, заданная уравнением , будет правильной поверхностью.

Понятие поверхности, интуитивно достаточно ясное, можно определять с различной степенью общности. В анализе чаще всего приходится рассматривать поверхности, задаваемые уравнениями вида

,

где - непрерывная функция, определенная в некоторой области . Несколько более широкий класс поверхностей мы получим, рассматривая уравнения вида

.

Чтобы такое уравнение действительно определяло поверхность (в смысле, соответствующем нашим наглядным представлениям), необходимо на функцию наложить некоторые дополнительные условия.

Область на плоскости мы будем называть элементарной областью, если она является образом открытого круга при топологическом отображении. Таким образом, элементарная область - это область гомеоморфная кругу.

Пусть - простая замкнутая кривая на плоскости. По теореме Жордана: Простая замкнутая кривая разбивает плоскость на две области и является границей для каждой из областей. Одна из областей конечна, другая - бесконечна. Оказывается, конечная область гомеоморфна кругу. Таким образом, внутренность квадрата, прямоугольника, внутренность эллипса - все это элементарные области.

Определим элементарную поверхность.

Пусть - множество в евклидовом пространстве . Множество называется элементарной поверхностью, если при проекции на некоторую плоскость оно взаимно однозначно и взаимно непрерывно отображается на открытую область в этой плоскости.

Примеры. Любая плоская область является элементарной поверхностью.

Сфера не является элементарной поверхностью, хотя таковой будет всякая достаточно малая сферическая область.

Если мы фиксируем плоскость, фигурирующую в определении элементарной поверхности, то получим возможность явно задать элементарную поверхность . Пусть - рассматриваемая плоскость. Введем в пространстве декартову систему координат так, чтобы плоскость совпадала с координатной плоскостью . Тогда проекция на плоскость точки с координатами будет иметь координаты . Если область - образ элементарной поверхности при проекции на , то множество будет графиком некоторой непрерывной функции , определенной в области . Поэтому множество можно задать уравнением

.

Такое задание называется явным, а само уравнение называется уравнением элементарной поверхности в явном виде.

Для многих целей элементарную поверхность удобно рассматривать как образ области при ее отображении в пространство , которое точке с координатами ставит в соответствие точку с координатами .

Множество точек пространства мы будем называть простой поверхностью, если это множество связно и каждая точка этого множества имеет окрестность такую, что часть , расположенная в , является элементарной поверхностью.

Элементарная поверхность является простой поверхностью. Но элементарными поверхностями далеко не исчерпываются все простые поверхности. Например, сфера является простой поверхностью, но не элементарной. Простые поверхности нельзя в целом охарактеризовать в целом общо и просто, как это можно сделать для простых кривых. Некоторое представление о разнообразии простых поверхностей дает следующее сообщение. Если из произвольной простой поверхности удалить любое замкнутое множество точек, но так, чтобы не нарушать связности оставшейся части, то эта оставшаяся часть будет также простой поверхностью.

Простая поверхность называется полной, если предельная точка для любой сходящейся последовательности точек поверхности также является точкой поверхности. Например, сфера, параболоид суть полные поверхности, а сферический сегмент не является полной поверхностью (речь идет о сферическом сегменте без ограничивающей его окружности).

Если простая полная поверхность является конечной, то она называется замкнутой. Кроме сферы, замкнутой поверхностью является, например, тор - поверхность, получаемая вращением окружности около прямой, лежащей в области окружности и не пересекающей окружность (Рисунок 1.).

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Рисунок 1.

Далее, просто поверхностью мы будем называть соединение любого конечного числа простых поверхностей. При этом, допускается и наличие у поверхности самопересечений, т.е. рассматриваем и такие геометрические образы, как, скажем, изображенный на рисунке 2.

Рисунок 2.

Определим понятие окрестности точки на простой поверхности.

Окрестностью точки на простой поверхности называется общая часть поверхности и некоторой пространственной окрестности точки . Согласно определению у каждой точки простой поверхности есть окрестность, являющаяся элементарной поверхностью.

Множество точек пространства будем называть общей поверхностью, если оно является образом простой поверхности при локально топологическом отображении ее в пространство.

Будем говорить, что отображение простой поверхности и отображение простой поверхности определяют одну и ту же общую поверхность , если между точками поверхностей и может быть установлено топологическое соответствие, при котором образы соответствующих точек этих поверхностей на поверхности совпадают.

Пусть общая поверхность является образом простой поверхности при локально топологическом отображении . Окрестностью точки на поверхности мы будем называть образ любой окрестности точки на поверхности при отображении . Так как отображение в достаточно малой окрестности точки является топологическим, то на имеет окрестность, являющуюся элементарной поверхностью. Таким образом, исследование любой поверхности «в малом» сводится к рассмотрению элементарной поверхности.

Делись добром ;)