Теория поверхностей в задачах и примерах

дипломная работа

1.6 Развертывающаяся поверхность, составленная из нормалей

Предположим, что в каждой точке кривой

выбрана нормаль с направляющим единичным вектором

.

Найдем условие, которому должен удовлетворять этот вектор, для того, чтобы выбранные нормали были образующими развертывающейся поверхности.

Так как данная кривая лежит на этой поверхности, то последняя есть огибающая касательных плоскостей этой кривой и вектор должен удовлетворять условию (23)

; .

Дифференцируя первое из них, получим

.

Очевидно, что для выполнения второго из них необходимо и достаточно, чтобы

. (25)

С другой стороны, так как вектор единичный, то

. (26)

Векторы и лежат в нормальной плоскости данной кривой, а вектор перпендикулярен им вследствие (25) и (26) и, следовательно, направлен по касательной, так что

. (27)

Обратно, из (27) следует (25) и (26), и если вектор направлен по нормали, то для него выполняются условия (23).

Итак: для того, чтобы семейство нормалей данной кривой образовало развертывающуюся поверхность, необходимо и достаточно, чтобы производная единичного вектора этих нормалей была коллинеарна касательной этой кривой.

Чтобы найти направление вектора , представим его в виде

,

обозначая через угол, который он образует с главной нормалью данной линии.

Дифференцируя последнее равенство и пользуясь формулами Сере-Френе, получим после простых преобразований

.

Для того, чтобы и были коллинеарны должно выполнятся условие

, (28)

которое и позволяет определить искомый угол в виде интеграла

. (29)

Таким образом, мы видим, что из нормалей всякой кривой можно составить развертывающуюся поверхность и при том с известным произволом, соответствующим произволу в выборе постоянного интегрирования.

Этому произволу можно дать простое геометрическое истолкование. Предположим, что из нормалей данной кривой построены две различные развертывающиеся поверхности, причем их характеристики образуют углы и с главными нормалями данной кривой.

Оба эти угла должны удовлетворять условию (23). Поэтому, обозначив через , получим

или

.

Отсюда следует, что если нормали, образующие развертывающуюся поверхность, повернуть в нормальных плоскостях на постоянный угол, то они и после поворота будут образовывать развертывающуюся поверхность (рисунок 10).

Рисунок 10.

Формула (28) позволяе6т решить вопрос о виде кривых, у которых главные нормали или бинормали образуют развертывающуюся поверхность. В этих случаях или ;

,

и следовательно, , так что это возможно только для плоской кривой.

Делись добром ;)