Теория поверхностей в задачах и примерах
2.4 Касательная прямая
Чтобы иметь возможность применить метод дифференциальной геометрии, нужно ограничить класс поверхностей, подлежащих рассмотрению. В дальнейшем будут рассмотрены только такие поверхности в параметрическом уравнении, которых функция имеет частные производные, по крайней мере, первых двух порядков.
Прямая касается поверхности, если она касается некоторой кривой, принадлежащей поверхности. Допустим, что поверхность задана параметрическим уравнением
, (30)
а принадлежащая ей кривая в свою очередь параметризована с помощью параметра . В таком случае каждому значению этого параметра соответствует некоторая точка кривой, а ее положению на поверхности соответствует в свою очередь определенные значения криволинейных координат и .
Таким образом, криволинейные координаты точек кривой, расположенной на поверхности, являются функциями параметра .
Соответствующую систему соотношений
; (36)
будем называть внутренними уравнениями кривой на поверхности.
Внутренние уравнение вполне характеризуют кривую, если задано параметрическое уравнение поверхности, так как подстановка (36) в (30) приводит нас к уравнению
, (37)
являющемуся параметрическим уравнением данной линии.
Касательный вектор этой кривой, а, следовательно, и направляющий вектор прямой, касающейся поверхности, получим обычным приемом, дифференцируя радиус-вектор по параметру . Однако, при этом примем во внимание, что в силу (37) зависит от , через посредство аргументов и получим
. (38)
Правая часть этого выражения представляет собою линейную комбинацию двух векторов, которые для краткости обозначают так
; (39)
и называются координатными векторами, соответствующими той точке, криволинейные координаты которой подставляются при их вычислении. Легко видеть, что координатные векторы есть векторы касательных к координатными линиям (рисунок 16). Действительно, рассмотрим одну из координатных линий. Ее параметрические уравнения, очевидно, можно представить в виде
; .
|
Рисунок 16. |
Таким образом, формула (39) показывает, что направляющий вектор всякой прямой, касающейся поверхности в данной точке, является линейной комбинацией координатных векторов, соответствующих этой точке, а его направление определяется отношением и , т.е. дифференциалов криволинейных координат, соответствующих направлению кривой, которой касается данная прямая.