Теория поверхностей в задачах и примерах

дипломная работа

3. ПЕРВАЯ КВАДРАТИЧНАЯ ФОРМА ПОВЕРХНОСТИ

Пусть -- регулярная поверхность, -- какая-нибудь ее регулярная параметризация и -- единичный вектор нормали к поверхности в точке .

В теории поверхностей важную роль играют квадратичные формы, связанные с поверхностью:

, .

Первой квадратичной формой поверхности называют выражение

.

Запишем это выражение подробнее. Имеем

, , (42)

или вводя обозначения

, , , (43)

получим уравнение первой квадратичной формы

. (44)

Первая квадратичная форма играет основную роль во всей теории поверхностей. В правой его части представлены коэффициенты, являющиеся функциями точки поверхности и переменными и - дифференциалами криволинейных координат, которые зависят от направления кривой, проходящей через данную точку. Форма называется первой основной квадратичной формой поверхности. Кроме того, ее называют еще для краткости просто линейным элементом поверхности, подчеркивая этим, что знание ее является основой для вычисления длин дуг. Действительно, если линейный элемент задан, т.е. заданы его коэффициенты в функции и и известно внутреннее уравнение кривой, то ее дугу можно вычислить даже в том случае, если параметрическое уравнение поверхности неизвестно. Отметим некоторые важные неравенства, которым удовлетворяют коэффициенты линейного элемента.

Из равенств ; следует, что для всякой неособенной точки поверхности

; . (45)

Применяя тождество Лагранжа, получим

.

Выражение в правой части есть дискриминант линейного элемента. Во всякой неособенной точке .

Поэтому

. (46)

Неравенства (45) и (46) соответствуют тому факту, что основная квадратичная форма положительна и не может обратиться в нуль при значении переменных и , не равных нулю одновременно. Квадратичные формы, обладающие этим свойством, называются положительно-определенными.

Делись добром ;)