Теорії інтеграла Стільєса

дипломная работа

2.2 Загальні умови існування інтеграла Стільєса

Установимо загальні умови існування інтеграла Стільєса, обмежуючись, втім, припущенням, що функція монотонно зростає.

Звідси треба, що при тепер усе .

Аналогічно сумам Дарбу, і тут доцільно внести суми

де й означають, відповідно, нижні й верхню точні границі функції в -м проміжку . Ці суми ми будемо називати нижньою й верхньою сумами Дарбу-Стільєса.

Насамперед, ясно, що (при тому самому розбивці)

причому й служать точними границями для стільєсовских сум .

Самі суми Дарбу-Стільєса мають наступні двома властивості:

1-е властивість. Якщо до наявних крапок ділення додати нові крапки, то нижня сума Дарбу-Стільєса може від цього хіба лише зрости, а верхня сума - хіба лише зменшитися.

2-е властивість. Кожна нижня сума Дарбу-Стільєса не перевершує кожної верхньої суми, хоча б і відповідають іншій розбивці проміжку.

Якщо ввести нижній і верхній інтеграли Дарбу-Стільєса:

і

те, виявляється, що

.

Нарешті, за допомогою сум Дарбу-Стільєса легко встановлюється для розглянутого випадку основна ознака існування інтеграла Стільєса:

Теорема: Для існування інтеграла Стільєса необхідно й досить, щоб було

Або

,

якщо під , як звичайно, розуміти коливання функції в -м проміжку .

У наступному пункті ми застосуємо цей критерій до встановлення важливих парних класів функцій і , для яких інтеграл Стільєса існує.

Делись добром ;)