Теорії інтеграла Стільєса

2.3 Класи випадків існування інтеграла Стільєса

I. Якщо функція безперервна, а функція має обмежену зміну, то інтеграл Стільєса

(5)

існує.

Спочатку припустимо, що монотонно зростає: тоді застосуй критерій попереднього пункту. По довільно заданому через рівномірну безперервність функції найдеться таке , що в будь-якому проміжку з довжиною, меншої , коливання буде менше . Нехай тепер проміжок довільно розбитий на частині так, що . Тоді всі

і

,

звідки й треба виконання умови (4), а стало бути й існування інтеграла.

У загальному випадку, якщо функція має обмежену зміну, вона представимо у вигляді різниці двох обмежених зростаючих функцій: . Відповідно до цього перетвориться й сума Стільєса, що відповідає функції :

.

Тому що по вже доведеному кожна із сум і при прагне до кінцевої межі, те це справедливо й щодо суми , що й було потрібно довести.

Можна послабити умови, що накладаються на функцію , якщо одночасно підсилити вимоги до функції :

Якщо функція інтегрувальна в у змісті Римана, а задовольняє умові Липшица:

(6)

те інтеграл (5) існує.

Для того щоб знову мати можливість застосувати встановлений вище критерій, припустимо спочатку функцію не тільки задовольняючій умові (6), але й монотонно зростаючої.

Через (6), мабуть, , так що

.

Але остання сума при й сама прагне до 0 внаслідок (у змісті Римана) функції , а тоді прагне до нуля й перша сума, що доводить існування інтеграла (5).

У загальному випадку функції , що задовольняє умові Липшица (6), представимо у вигляді різниці

Функція, мабуть, задовольняє умові Липшица й у той же час монотонно зростає. Те ж справедливо й для функції , тому що, у силу (6), при

и

У такому випадку міркування завершується, як і вище.

III. Якщо функція інтегрувальна в змісті Римана, а функція представима у вигляді інтеграла зі змінною верхньою межею:

 (7)

де абсолютно інтегрувальна, у проміжку , то інтеграл (5) існує.

Нехай , так що монотонно зростає. Якщо інтегрувальне у власному змісті й, отже, обмежена: то для

Маємо

Таким чином, у цьому випадку задовольняє умові Липшица, і інтеграл існує в силу 2.

Припустимо тепер, що інтегрувальне в невласному змісті. Обмежимося випадком однієї особливої крапки, скажемо . Насамперед, по довільно взятому виберемо так, щоб було

(8)

де - загальне коливання функції в розглянутому проміжку.

Розібємо проміжок по сваволі на частині й складемо суму

Вона розкладається на дві суми , з яких перша відповідає проміжкам, що цілком утримуються в проміжку , а друга - іншим проміжкам. Останні напевно втримуватися в проміжку , якщо тільки

; тоді, у силу (8),

З іншого боку, тому що в проміжку функція інтегрувальна у власному змісті, то по доведеному при досить малому й сума стане менше . Звідси треба (4), що й було потрібно довести.

У загальному випадку, коли функція абсолютно інтегрувальна в проміжку , ми розглянемо функції

очевидно, ненегативні й інтегрувальні в названому проміжку. Тому що

те питання зводиться, як і вище, до вже розглянутого випадку.

Зауваження. Нехай функція безперервна в проміжку й має, крім хіба лише кінцевого числа крапок, похідну , причому ця похідна інтегрувальна (у власному або невласному змісті) від до ; тоді, як відомо, має місце формула типу (7):

.

Якщо абсолютно інтегрувальна, то до функції повністю застосовне викладене в 3.