Теорії інтеграла Стільєса
2.4 Властивості інтеграла Стільєса
З визначення інтеграла Стільєса безпосередньо випливають наступні його властивості:
При цьому у випадках з існування інтегралів у правій частині випливає існування інтеграла в лівій частині.
Потім маємо
у припущенні, що й існують всі три інтеграли.
Для доказу цієї формули досить лише затурбуватися включенням крапки в число крапок ділення проміжку при складанні суми Стільєса для інтеграла .
Із приводу цієї формули зробимо ряд зауважень. Насамперед, з існування інтеграла треба вже існування обох інтегралів
и.
Для своєрідного граничного процесу, за допомогою якого зі стільєсовской суми виходить інтеграл Стільєса, має місце принцип збіжності Больцано-Коші. Таким чином, по заданому через існування інтеграла найдеться таке , що будь-які дві суми й Стільєса, яким відповідають і , відрізняються менше ніж на . Якщо при цьому до складу крапок ділення включити крапку , а крапки ділення, що доводяться на проміжок , брати в обох випадках тими самими, то різниця зведеться до різниці двох сум Стільєса, що ставляться вже до проміжку , тому що інші доданки взаємно знищаться. Застосовуючи до проміжку й обчисленим для нього стільєсовским сумам той же принцип збіжності, укладемо про існування інтеграла . Аналогічно встановлюється й існування інтеграла .
Особливо заслуговує бути відзначеним той не факт, що має прецедентів, що з існування обох інтегралів і , загалом кажучи, не випливає існування інтеграла .
Щоб переконатися в цьому, досить розглянути приклад. Нехай у проміжку функції й задані наступними рівностями:
;
Легко бачити, що інтеграли
обоє існують і рівні 0, тому що відповідні їм суми Стільєса всі рівні 0: для першого це треба з того, що завжди , для другого - зі сталості функції , завдяки чому завжди
У той же час інтеграл
не існує. Дійсно, розібємо проміжок на частині так, щоб крапка 0 не потрапила до складу крапок ділення, і складемо суму
Якщо крапка 0 потрапить у проміжок , так що , то в сумі залишиться тільки одне -е доданок; інші будуть нулі, тому що
для .
Отже,
Залежно від того, чи буде або , виявиться або , так що межі не має.
Зазначена своєрідна обставина повязане з наявністю розривів у крапці для обох функцій і .
2.5 Інтегрування вроздріб
Для інтегралів Стільєса має місце формула
(9)
у припущенні, що існує один із цих інтегралів; існування іншого звідси вже випливає. Формула ця зветься формули інтегрування вроздріб. Доведемо неї.
Нехай існує інтеграл . Розклавши проміжок на частині , виберемо в цих частинах довільно по крапці , так що
Суму Стільєса для інтеграла
можна представити у вигляді
Якщо додати й знову відняти праворуч вираження
те перепишеться так:
Вираження у фігурних дужках представляє собою стільєсову суму для інтеграла (існування якого припущено!). Вона відповідає розбивці проміжку крапками ділення
якщо в якості обраних із проміжків крапок взяти , а для проміжків і , відповідно, і . Якщо, як звичайно, покласти, то тепер довжини всіх часткових проміжків не перевершать . При сума у квадратних дужках прагне до , отже, існує межа й для , тобто інтеграл , і цей інтеграл визначається формулою (9).
Як наслідок нашого міркування, особливо відзначимо той цікавий факт, що якщо функція в проміжку інтегрувальна по функції , те й функція інтегрувальна по функції .
Це зауваження дозволяє додати ряд нових випадків існування інтеграла Стільєса до тих, які були розглянуті в п.3, перемінивши ролі функцій і .