Теорії інтеграла Стільєса

дипломная работа

2.6 Приведення інтеграла Стільєса до інтеграла Римана

Нехай функція безперервна в проміжку , а монотонно зростає в цьому проміжку, і притім у точному значенні. Тоді, як показав Лебег, інтеграл Стільєса за допомогою підстановки безпосередньо приводиться до інтеграла Римана.

На малюнку зображений графік функції . Для тих значень , при яких функція випробовує стрибок (тому що ми зовсім не припускаємо обовязково безперервної), ми доповнюємо графіка прямолінійним вертикальним відрізком, що зєднує крапки й . Так створюється безперервна лінія, що кожному значенню між і відносить одне певне значення між і . Ця функція, мабуть, буде безперервної й монотонно зростаючої в широкому змісті; її можна розглядати як свого роду зворотну для функції .

Саме, якщо обмежитися лише тими значеннями, які функція дійсно приймає при зміні від до , те є зворотною для неї у звичайному змісті, тобто відносить саме те значення , при якому . Але із проміжку значень

звязаного зі стрибком функції , лише одне значення має собі відповідне значення ; іншим значенням у згаданому проміжку ніякі значення, мабуть, не відповідають. Але ми умовно відносимо і їм те ж значення ; геометрично це й виразилося в доповненні графіка функції рядом вертикальних відрізків.

Доведемо тепер, що

(10)

де останній інтеграл береться у звичайному змісті, його існування забезпечене, тому що функція , а з нею й складна функція , безперервна.

Із цією метою розкладемо проміжок на частині за допомогою крапок ділення

і складемо стільєсову суму

.

Якщо покласти, то будемо мати

Тому що , те

.

Це вираження має вигляд римановой суми для інтеграла

Звідси, однак, не можна ще безпосередньо укласти, переходячи до оператора, про рівність (10), тому що навіть при може виявитися, що до нуля не прагне, якщо, наприклад, між безмежно зближаються й буде укладене значення , де функція випробовує стрибок. Тому ми будемо міркувати інакше.

Маємо

и

так що

Припустимо тепер настільки малими, щоб коливання функції у всіх проміжках були менше довільного наперед заданого числа . Тому що

при, мабуть,

те одночасно й

У такому випадку

.

Цим доведено, що

звідки й треба (10).

Незважаючи на принципову важливість отриманого результату, він не дає практично зручного засобу для обчислення інтеграла Стільєса. Як здійснювати обчислення в деяких найпростіших випадках, ми покажемо в наступному пункті.

Делись добром ;)