Теорії інтеграла Стільєса
2.10 Теорема про середній, оцінки
Нехай у проміжку функція обмежена:
а монотонно зростає. Якщо існує інтеграл Стільєса від по , то має місце формула
(22)
Це і є теорема про середній для інтегралів Стільєса.
Для доказу будемо виходити з очевидних нерівностей для стільєсовской суми :
Переходячи до межі, одержимо
(23)
Або
Позначаючи написане відношення через , прийдемо до (22).
Якщо функція в проміжку безперервна, то звичайним шляхом переконуємося в тім, що є значення функції в деякій крапці цього проміжку, інтеграл формула (22) здобуває вид
, де (24)
У практиці інтегралів Стільєса найбільш важливим є випадок, коли функція безперервна, а функція має обмежену зміну. Для цього випадку справедлива така оцінка інтеграла Стільєса:
(25)
Де
.
Дійсно, для суми Стільєса буде
так що залишається лише перейти до межі, щоб одержати необхідну нерівність.
Звідси випливає, зокрема, і оцінка близькості суми до самого інтеграла Стільєса (при колишніх припущеннях щодо функцій і ). Представивши й у вигляді
і по членне віднімаючи ці рівності, одержимо
Якщо, як звичайно, позначити через коливання функції в проміжку , так що
для
те, застосовуючи оцінку (25) до кожного інтеграла окремо, будемо мати
Якщо проміжок роздроблений на настільки дрібні частини, що всі , де - довільне наперед узяте число, то містимо, що
(26)
Ці оцінки будуть нами використані в наступному пункті.