Теорії інтеграла Стільєса

дипломная работа

2.10 Теорема про середній, оцінки

Нехай у проміжку функція обмежена:

а монотонно зростає. Якщо існує інтеграл Стільєса від по , то має місце формула

(22)

Це і є теорема про середній для інтегралів Стільєса.

Для доказу будемо виходити з очевидних нерівностей для стільєсовской суми :

Переходячи до межі, одержимо

(23)

Або

Позначаючи написане відношення через , прийдемо до (22).

Якщо функція в проміжку безперервна, то звичайним шляхом переконуємося в тім, що є значення функції в деякій крапці цього проміжку, інтеграл формула (22) здобуває вид

, де (24)

У практиці інтегралів Стільєса найбільш важливим є випадок, коли функція безперервна, а функція має обмежену зміну. Для цього випадку справедлива така оцінка інтеграла Стільєса:

(25)

Де

.

Дійсно, для суми Стільєса буде

так що залишається лише перейти до межі, щоб одержати необхідну нерівність.

Звідси випливає, зокрема, і оцінка близькості суми до самого інтеграла Стільєса (при колишніх припущеннях щодо функцій і ). Представивши й у вигляді

і по членне віднімаючи ці рівності, одержимо

Якщо, як звичайно, позначити через коливання функції в проміжку , так що

для

те, застосовуючи оцінку (25) до кожного інтеграла окремо, будемо мати

Якщо проміжок роздроблений на настільки дрібні частини, що всі , де - довільне наперед узяте число, то містимо, що

(26)

Ці оцінки будуть нами використані в наступному пункті.

Делись добром ;)