Теорії інтеграла Стільєса

дипломная работа

2.12 Приклади й доповнення

Припускаючи функцію монотонно зростаючої в точному значенні, можна довести щодо числа , що фігурує у формулі (24), більше точне твердження:

Дійсно, позначивши через і найменше й найбільше значення функції в проміжку й уважаючи , легко знайдемо таку частину цього проміжку, у якій границями служать числа й , так що

Написавши для проміжків і нерівності виду (23) інтеграл складаючи їх з попередніми, одержимо замість (23) більше точні нерівності:

так що число

Лежить строго між і ; а тоді знайдемо й строго між і , для якого й т.д.

Використовуючи формулу (11) п., формулу інтегрування вроздріб і теорему про середній для інтегралів Стільєса, дуже легко заново встановити другу теорему про середній для звичайних інтегралів.

Отже, нехай інтегрувальна (у змісті Римана), а монотонно зростає в проміжку . Уведемо функцію

;

вона, як ми знаємо, буде безперервна.

Тепер послідовно маємо

що й було потрібно довести.

Якщо монотонно зростає в точному значенні, то на підставі зробленого в 1) зауваження можна точніше сказати відносно :

Довести, що, якщо в крапці одна з функцій і безперервна, у той час як інша в околиці цієї крапки обмежена, то існування інтегралів і спричиняє існування й .

Із цією метою помітимо, що, якщо при складанні стільєсової суми ми будемо включати крапку до складу крапок ділення, то сума буде складатися із двох аналогічних сум для часткових проміжків і ; при вона буде прагнути до суми інтегралів . Нехай тепер крапка не входить до числа крапок ділення. Приєднуючи до них крапку , ми від перейдемо до нової суми , про яку ми вже знаємо, що при вона має зазначену межу. Таким чином, досить показати, що різниця буде разом із прагнути до 0.

Нехай крапка попадає в проміжок ; тоді сума відрізняється від суми лише тим, що замість доданка

у ній є два доданки:

де й вибираються довільно під умовами й . Поклавши для спрощення , зведемо останнє вираження до

так що

(29)

Коли , те один із множників правої частини нескінченно малий, у той час як другий обмежений; отже, що й було потрібно довести.

Якщо обидві функції й виявляються розривними в один інтеграл тій же крапці , то інтеграл Стільєса

(30)

свідомо не існує.

Для доказу будемо розрізняти два випадки. Нехай спочатку , і межі й не рівні. Тоді при побудові суми Стільєса ми крапку не станемо вводити в число крапок ділення; нехай, скажемо, Вибравши один раз , а інший раз взявши в якості складемо дві суми й , різниця яких зведеться до вираження (29).

Зближаючи крапки ділення, будемо мати

Крім того, крапку можна вибрати так, щоб різниця була по абсолютній величині більшій деякого постійного позитивного числа. Тоді різниця не прагне до 0, так що інтеграл існувати не може.

Якщо ж , але їхнє загальне значення відмінно від ("переборний розрив"), те, навпаки, включимо в число крапок ділення; нехай . Якщо має, наприклад, розривши в крапці праворуч, те, як і тільки що, складемо дві суми й , що відрізняються лише вибором : для крапка взята довільно між і , а для в якості взята . Як і раніше маємо (29), інтеграл міркування завершується аналогічно.

Вправи 3) і 4) проливають світло на той факт, про яке говорилося наприкінці п.4.

Нехай безперервна, а має обмежена зміна в проміжку .

Опираючись на оцінку (25), довести безперервність інтеграла Стільєса

по змінній верхній межі в крапці , де функція безперервна.

Висновок відразу випливає з нерівності

якщо взяти до уваги, що в крапці повинна бути безперервна й варіація .

Якщо є клас безперервних у проміжку функцій, а - клас функцій з обмеженою зміною в цьому проміжку, те, як відомо, кожна функція одного класу, інтегрувальна по кожній функції іншого класу. Довести, що жоден, ні іншої із цих класів не може бути розширений зі збереженням згаданої властивості.

Це, через 4), майже очевидно щодо класу . Дійсно, якщо функція має крапку розриву , то вона свідомо не інтегрувальна, наприклад, по функції з обмеженою зміною , що має ту ж крапку розриву.

Нехай тепер у проміжку має нескінченна повна зміна; у цьому припущенні побудуємо таку безперервну функцію , для якої інтеграл (30) не існує.

Якщо розділити проміжок навпіл, то хоч в одній з половин повна зміна функції теж буде нескінченно; розділимо цю половину знову навпіл інтеграл т.д. По цьому методі визначиться деяка крапка , у кожній околиці якої не має обмеженої зміни. Для простоти нехай .

У такому випадку легко побудувати послідовність зростаючий інтеграл прагнучих до значень :

так, щоб ряд

розходився. Для цього ряду потім можна підібрати таку послідовність прагнучих до 0 чисел , щоб і ряд

(31)

все-таки розходився. Тепер визначимо функцію , думаючи

а в проміжках уважаючи лінійної:

Очевидно, буде безперервна. У той же час, через ряд (31), при й

так що інтеграл від по дійсно не існує.

Доведене твердження можна сформулювати й так: якщо інтеграл Стільєса (30) для даної функції існує по кожній з , те необхідно належить ; аналогічно, якщо цей інтеграл по даній функції існує для кожної з , те необхідно належить .

У першій теоремі про граничний перехід під знаком інтеграла Стільєса ми поставили вимогу, щоб послідовність функцій прагнула до граничної функції рівномірно. Можна, однак, замінити ця вимога більше загальною умовою, що ці функції обмежені в їхній сукупності:

(Тільки при цьому потрібно ще наперед припустити безперервність граничної функції ).

При доказі досить розглянути випадок, коли зростає в точному значенні. Але для цього випадку можна скористатися перетворенням, проведеним у п.:

і, маючи справу вже з римановими інтегралами, просто застосувати теорему Арцелла.

Укажемо, на закінчення, інше трактування поняття інтеграла Стільєса, звязавши його з поняттям адитивної функції від проміжку.

Нехай для кожної частини даного проміжку визначене число , причому, якщо проміжок крапкою розкладений на частині й , те й

Тоді є адитивна функція від змінного проміжку . Припустимо, що крім її для проміжку задана й функція крапки . Розкладемо тепер, як звичайно, проміжок крапками

на частині , у кожній частині довільно виберемо по крапці й, нарешті, складемо суму

(32)

Межа цієї суми при і є інтеграл Стільєса, що природно - з огляду на процес його побудови - позначити так:

(33)

Якщо визначити другу функцію крапки , поклавши

для

те, через адитивності функції , у всіх випадках

(34)

так що сума (32) зведеться до звичайного стільєсовой сумі

а межа (33) - до звичайного інтеграла Стільєса

.

Обернено, якщо існує останній інтеграл, те, визначивши функцію від проміжку рівністю (34) (причому легко перевірити, що вона виявиться адитивною), можна звести звичайний інтеграл Стільєса до інтеграла (33).

Делись добром ;)