Теорії інтеграла Стільєса

дипломная работа

3.1 Застосування в теорії ймовірностей

В елементарній теорії ймовірностей, де розглядаються випадкові величини, які можуть приймати тільки кінцеву множину значень , середнє значення або математичне очікування визначається формулою:

(1)

Маючи цю формулу, ми можемо за допомогою інтеграла Стільєса поширити визначення середнього значення на випадкові величини, які можуть приймати будь-яку множину значень, укладена в якому-небудь обмеженому інтервалі , - якщо тільки ми приймемо наступну аксіому:

Які б не були функції й випадкової величини , для яких завжди , для них будуть мати місце також і нерівності:

(2)

Щоб поширити визначення середнього значення, візьмемо який-небудь підрозділ

і нехай і , коли Тут , і тому в силу умови (2):

Величини ж і , у такий спосіб певні, можуть приймати відповідно тільки значення й , а тому по формулі (1):

З іншого боку, очевидно, що ймовірності й обидві рівні ймовірності , і тому

Отже, якщо ввести функції розподілу випадкової величини :

Верхня грань сум у лівій частині й нижній грані сум у правій частині цих нерівностей обидві дорівнюють інтегралу Стільєса функції , узятому в межах від до ; останній завжди існує, як інтеграл безперервної функції, обмеженої в проміжку інтегрування. Отже, для середнього значення повинне мати місце рівність:

.

Трохи складніше є справа з випадковими величинами, які можуть приймати необмежену множину значень. Якщо така випадкова величина може приймати тільки рахункову множину значень , то середнє значення визначається формулою

, (3)

причому ряд у правій частині цієї формули повинен бути абсолютно збіжним, інакше його сума залежала б від порядку, у якому перенумеровані значення випадкової величини, і середнє значення не було б однозначно визначене.

Маючи формулу (3), ми можемо за допомогою відповідним чином певного невласного інтеграла Стільєса поширити визначення середнього значення й на багато таких випадкових величин, які можуть приймати незліченну необмежену множину значень.

Приведемо приклад обчислення середнього значення випадкової величини , для якої це обчислення вимагає саме інтеграла Стільєса, незамінного ні звичайним інтегралом, ні кінцевим, ні нескінченним рядом.

Нехай випадкова величина визначається наступними умовами:

Вона може приймати тільки значення між 0 і 1. Таким чином, її функція повинна бути дорівнює 0 при x<0 і дорівнює 1 при .

"right">72

Размещено на http://www.allbest.ru

0 1

Вона не може приймати жодного значення в інтервалі ; влучення в сусідні інтервали рівно імовірно. Таким чином, в інтервалі її функція розподілу повинна бути постійна й дорівнює .

У кожному із крайніх інтервалів повторюється така ж картина, тобто не може приймати жодного значення в інтервалі й , влучення ж у чотири інтервали , , , для неї однаково ймовірно. Таким чином, в інтервалах і її функції розподілу повинна мати постійні значення: у першому й у другому .

Така ж картина повторюється й у кожному з названих чотирьох інтервалів довжини й т.д.

"right">72

Размещено на http://www.allbest.ru

0 1

"right"> 72

Размещено на http://www.allbest.ru

0 1

Повторивши раз наше міркування, ми будемо мати інтервалів, кожний довжини ; для із цих інтервалів імовірність влучення в кожний з них буде дорівнює , влучення в інші буде неможливо. У цих наступна функція розподілу буде постійна. Щоб визначити функцію розподілу в кожній крапці інтервалу , досить уявити собі, що ми повторюємо такі ж міркування нескінченне число раз. Після цього навіть у крапках, що залишилися поза інтервалами, у яких функція розподілу постійна, вона повинна була одержати певні значення в силу того, що вона повинна бути не убутною.

Справді, і ліворуч, і праворуч від кожної такої крапки, по обидва боки як завгодно близько до неї, будуть зустрічатися інтервали, у яких функція розподілу постійна, тому що в міру розширення цих інтервалів шляхом приєднання до наявним уже інтервалів довжини наступних інтервалів довжини відстані між ними стають як завгодно малими.

Визначивши в такий спосіб функцію розподілу , ми вже без праці обчислимо середнє значення .

Для цього досить звернутися до його геометричного зображення. У цьому випадку воно зображується площею, обмеженої прямими й і кривій розподілу . Але ця площа в силу симетрії дорівнює площі, обмеженої прямими й і кривій . Узяті ж разом ці площі становлять площу квадрата рівну 1. Звідси ясно, що

Делись добром ;)