Теорія ймовірності та її застосування в економіці
Завдання 4
Знаючи, що випадкова величина Х підпорядковується біноміальному закону розподілу з параметрами n, p, записати ряд розподілу цієї величини і знайти основні числові характеристики:
А) математичне сподівання М (Х);
Б) дисперсію D (X);
В) середнє квадратичне відхилення у Х. n=3; p=0,5
Розвязання.
Біноміальний закон розподілу описується наступним виразом:
Підставивши значення параметрів, отримаємо:
Запишемо ряд розподілу цієї величини:
Таблиця 1
m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Pn (m) |
Таблиця 2
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Pn (Х) |
1.29E-01 |
9.68E-03 |
4.84E-04 |
1.82E-05 |
5.45E-07 |
1.36E-08 |
2.92E-10 |
5.47E-12 |
9.12E-14 |
1.37E-15 |
Рис.1. Графік біноміального розподілу
а) Математичне сподівання величини визначається як:
Запишемо результати в таблиці 3.
Таблиця 3
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
Pn (Х) |
1.29E-01 |
9.68E-03 |
4.84E-04 |
1.82E-05 |
5.45E-07 |
1.36E-08 |
2.92E-10 |
5.47E-12 |
9.12E-14 |
1.37E-15 |
|
ХP (Х) |
1.29E-01 |
1.94E-02 |
1.45E-03 |
7.26E-05 |
2.72E-06 |
8.17E-08 |
2.04E-09 |
4.38E-11 |
8.21E-13 |
1.37E-14 |
б) Дисперсія визначається як:
Таблиця 4
Х |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
Сума |
|
Х-M (Х) |
0.850 |
1.850 |
2.850 |
3.850 |
4.850 |
5.850 |
6.850 |
7.850 |
8.850 |
9.850 |
53.500 |
|
(Х-M (Х)) 2 |
0.723 |
3.423 |
8.123 |
14.823 |
23.523 |
34.223 |
46.923 |
61.623 |
78.323 |
97.023 |
368.725 |
|
Pn (Х) |
0.129 |
0.010 |
4.84E-04 |
1.82E-05 |
5.45E-07 |
1.36E-08 |
2.92E-10 |
5.47E-12 |
9.12E-14 |
1.37E-15 |
0.139 |
|
(Х-M (Х)) 2P (m) |
0.093 |
0.033 |
3.93E-03 |
2.69E-04 |
1.28E-05 |
4.66E-07 |
1.37E-08 |
3.37E-10 |
7.14E-12 |
1.33E-13 |
0.131 |
Дисперсія характеризує розкид значень від середнього.
D (Х) =0,131.
в) середнє квадратичне відхилення дх знаходиться як корінь квадратний з дисперсії.