Тихонівський простір

контрольная работа

2. Характеризація лінделефовості тихоновських просторів

Ми застосуємо нашу техніку у вище наведеному доведенню, щоб навести просте доведення теореми, яка нещодавно була доведена Белломі Ященко [6], їх доведення довге і складне.

Теорема 4. (Белла-Ященко [6]). Для тихоновського простору наступні твердження рівносильні:

1) якщо тихоновський простір містить дві замкнені множини і , що неперетинаються, то ці множини можна відокремити в відкритими множинами;

2) є лінделефовим.

Дивись [3] для мотивації теореми 4, яка буде сформульована нижче. Нагадаймо що підмножини та топологічного простору називаються відокремними, якщо .

(*) Якщо тихоновський простір містить дві копії і простору , які є відокремними підмножинами, то ці копії можуть бути відокремленими в просторі функціонально замкненими множинами.

Доведення теореми 4. (1) (2).

Припустимо (1). Спочатку ми доведемо що (*) має місце. Нехай і копії простору і припустимо, що віни є відокремними підмножинами тихоновського простору . Вкладемо простір в тихоновський куб. Крім того, вкладемо в добуток , як підпростір і позначемо підпростір через . Оскільки є щільною підмножиною простору то ці відкриті множини можуть бути продовжені до відкритих множин і , що не перетинаються, в просторі . Оскільки є тихоновським кубом, то вівдомо, що і можуть бути відокремлені за допомогою функціонально замкнених множин і в (для цього потрібно застосувати [15, теорема 2] і [17, теорема 2]. Тоді звідси випливає, що , при Звідси випливає, що і можуть відокремлюватися функціонально замкненими множинами в просторі точніше (*) має місце.

Тепер ми доведемо, що є лінделефовим. Нехай компактний підпростір простору і нехай . Позначемо множину в через при . Нехай фактор простору який одержується з простору ототожненням всіх точок множини однією точкою, а -- фактор відображеня. Оскільки і є відокремленими підмножинами в , то згідно з (*) існують функціонально замкнені множини, що не перетинаються, і і в просторі такі що при . Можна припустити, що . Тоді і є функціонально замкненою множиною в . Отже (а значить і ) є лінелефовим. Імплікація є очевидною.

Слід зазначити в теоремі 1 (відповідно теоремі 3), що може також бути або (відповідно ) вкладеним в кожний тихоновський простір, в якому є вкладеним, як замкнена підмножина ([4], [14], [16]). Так само, як може бути доведена аналогічна властитвість(*).

Яджіма подав деякі узагальнення теореми 4 і характеризації паракомпактності [18].

Делись добром ;)