1.2 Условия равносильности преобразований

Формулировка условий, определяющих ОДЗ, позволяет в большинстве случаев сводить первоначальную задачу с параметрами к равносильной системе уравнений и неравенств. Однако в процессе решения полученной системы не всегда удается ограничиться только равносильными преобразованиями. В ряде случаев возникает необходимость выполнять и неравносильные преобразования, как правило, расширяющие ОДЗ. При выполнении подобных преобразований среди полученных решений могут оказаться такие, которые не удовлетворяют ОДЗ исходной задачи.

Эквивалентность перехода в таких случаях можно обеспечить формулировкой дополнительных условий равносильности преобразований, учет которых наряду с ОДЗ исходной задачи позволяет довести решение до конца.

Условия равносильности преобразований тесно связаны с понятием равносильности на множестве.

Определение. Уравнение A равносильно системе B на множестве M, если все решения A из множества M удовлетворяют системе B, а все решения системы B из множества M удовлетворяют уравнению A.

Таким образом, при необходимости неравносильных в целом преобразований все множество M области допустимых значений параметров и неизвестных разбивается на ряд подмножеств Mk

которые попарно не пересекаются и на каждом их которых первоначальная система будет равносильна новой системе, а на всем множестве M она будет равносильна совокупности этих систем.

Переход от исходной задачи к равносильной ей совокупности систем является очень удобным приемом решения, так как все вспомогательные задачи, из которых могут быть найдены решения исходной задачи, формулируются одновременно, что уменьшает вероятность пропуска какой-либо возможной ситуации.

Пример 1. Найти все такие значения параметров a, b и c, при которых уравнение

имеет бесконечно много решений.

Решение. Найдем область допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).

Тогда на ОДЗ исходное уравнение будет равносильно совокупности систем

(2)

Уравнение системы (2) может иметь бесконечно много решений в том случае, если

,

где .

Подставляя полученные выражения для параметров a и b через параметр c в уравнение (1), получаем

(3)

Уравнение (3) при решений не имеет, при имеет единственное решение , а при равносильно неравенству

, т. е. имеет бесконечно много решений.

Ответ: при уравнение (1) имеет бесконечно много решений [20, с. 18].