Трансцендентные уравнения с параметрами и методы их решений

дипломная работа

1.3.2 Использование свойств функций в задачах с параметром

Для успешного решения уравнений с параметрами нужно не только владеть основными приемами их решения, но и знать и уметь применять некоторые преобразования, основанные на свойствах функций. Сформулируем некоторые из них в виде теорем.

Теорема 1. Если функция f(x) возрастает (убывает) на промежутке I и функция g(x) возрастает (убывает) на промежутке I, то функция h(x)=f(x)+g(x)+C также возрастает (убывает) на промежутке I (C - произвольная постоянная).

Теорема 2. Если функция f(x) неотрицательна и возрастает на промежутке I, функция g(x) неотрицательна и возрастает на промежутке I, , то функция также возрастает на промежутке I.

Аналогичное свойство имеет место и для убывающих функций, а также для .

Теорема 3. Если функция f(t) монотонна на промежутке I, то уравнение f(g(x))=f(h(x)) равносильно на промежутке I уравнению g(x)=h(x).

Теорема 4. Если функция f(x) монотонна на промежутке I, то уравнение f(x)=C имеет на промежутке I не более одного корня.

Теорема 5. Если функция f(x) возрастает на промежутке I, а функция g(x) убывает на промежутке I, то уравнение f(x)=g(x) имеет на промежутке I не более одного корня.

Теорема 6. Если функция f(x) возрастает на промежутке I, то уравнение f(f(x))=x равносильно на промежутке I уравнению f(x)=x.

Теорема 7. Если для функций f(x) и g(x) , то

Пример 4. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно один корень.

Решение.

Рассмотрим функцию . По теореме 1 она является возрастающей на множестве всех действительных чисел.

Тогда исходное уравнение можно записать в виде

.

По теореме 3 оно равносильно уравнению

.

Т. к. по условию задачи нужно найти те значения параметра, при которых уравнение имеет ровно один корень, а это возможно, когда дискриминант полученного равносильными преобразованиями квадратного уравнения равен нулю

то .

Ответ: при уравнение имеет ровно один корень [12, № 9].

Делись добром ;)