Трансцендентные уравнения с параметрами и методы их решений

дипломная работа

1.3.6 Использование симметрии аналитических выражений

К этой группе задач можно отнести такие, в которых требуется установить значения параметра, при которых уравнение имеет единственное решение, четное число решений или нечетное число решений.

Практически всегда подобные задачи имеют характерную особенность: их условия не изменяются либо при замене знака одной или нескольких переменных на противоположный (симметрия относительно знака), либо при перестановке нескольких переменных (симметрия относительно перестановки переменных). При решении задач такого рода используется следующий порядок действий:

во-первых, выполняется проверка на симметрию;

во-вторых, из проверки выполнения необходимых условий находятся допустимые значения параметра (при симметрии относительно знака переменной подставляется ее нулевое значение; при симметрии относительно перестановки переменных все переменные обозначают одной буквой);

в-третьих, проверяется достаточность условий, т. е. для найденных допустимых значений параметра выполняется проверка того, что при полученных значениях параметра уравнение действительно имеет требуемое число решений. Этот этап заключается либо в доказательстве существования требуемого числа решений, либо в его опровержении [21].

Пример 9. При каких значениях параметра уравнение

имеет одно решение.

Решение. При замене на (и наоборот) уравнение не меняет смысла, поэтому если точка с координатами - решение то и - решение. А так как в условии необходима единственность решения, то , тогда

Тогда получаем

где .

Т. к. требуется найти единственное решение, то дискриминант должен быть равен 0, т. е. .

Ответ: при уравнение имеет одно решение [24, № 3.60].

Делись добром ;)