Трансцендентные уравнения с параметрами и методы их решений
2.2 Логарифмические уравнения с параметрами
Уравнение, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании, называется логарифмическим уравнением. Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида , где .
При решении логарифмических уравнений удобно использовать следующие утверждения:
Утверждение 1. Если , уравнение при любом действительном b имеет единственное решение .
Утверждение 2. Уравнение равносильно одной из систем
Утверждение 3. Уравнение равносильно одной из систем
Пример 2. Для каждого действительного значения параметра решить уравнение .
Решение.
На координатной плоскости xOa множество точек, удовлетворяющих системе неравенств, расположено в полуплоскости между биссектрисами первого и четвертого координатных углов.
Решение уравнения изображается прямыми , параллельными оси Oa (рис. 8). Все точки этих прямых, принадлежащие указанному множеству и удовлетворяющие условию , то есть , дают решение исходной задачи.
Рис. 8
Ответ: при решений нет;
при [19, № 47].
Пример 2. Для каждого действительного значения параметра решить уравнение .
Решение.
На координатной плоскости xOa множество точек, удовлетворяющих системе неравенств, расположено в полуплоскости между биссектрисами первого и четвертого координатных углов. Решение уравнения изображается прямыми , параллельными оси Oa (рис. 8). Все точки этих прямых, принадлежащие указанному множеству и удовлетворяющие условию , то есть , дают решение исходной задачи.
Рис. 9
Ответ: при решений нет;
при [19, № 47].
Пример 3. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение
loga + loga=1 не имеет решения.
Решение.
ОДЗ:
Воспользовавшись основным свойством логарифма, запишем: 1=logaa.
Преобразуя наше уравнение, получим равносильное уравнение:
=а,
Проделав равносильные преобразования, и заметив, что знаменатель дробей 1+ всегда положителен, получим уравнение:
(3+2)(4+)=а(1+)2,
(6-а)х+(17-2а)+12-а=0.
Замена: =y, y0.
(6-а)y2+(17-2а)y+12-а=0. (1)
D=(17-2а2)-4(6-а)(12-а)=4а+1.
Так как а>0, то D>0 и квадратное уравнение (1) имеет 2 корня. Учитывая условие y0, имеем y1<0 и y2<0, то есть y1y2>0, y1+y2<0.
y1y2=, y1+y2=.
Значит,
С учетом условия а>0 и а?1, имеем а(0;1)(1;6)(12;+?).
Рассмотрим отдельно случай а=6. Тогда квадратное уравнение становится линейным 5y+6=0, то есть y=-6/5, что не удовлетворяет условию y0.
Ответ: при а(0;1)(1;6)(12;+?) уравнение не имеет решений.
Пример 4. Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение
имеет хотя бы один корень на отрезке [-1;2], а вне этого отрезка корней не имеет.
Решение.
На координатной плоскости xOa изображено множество всех точек (x;a), значения координаты x и параметра a каждой из которых удовлетворяют условиям системы (рис. 9). Условиям и удовлетворяют точки, расположенные в полуплоскости кроме точек прямой . Уравнению удовлетворяют точки прямой без точек и , прямым и без точек (2;2) и (1;0).
Следовательно, системе удовлетворяют значения координаты и параметра каждой из точек прямой и лучей и без указанных точек.
Множество всех точек (x;a), значения координаты x каждой из которых удовлетворяют неравенству , расположено в полосе и включает границы и .
Таким образом, искомым являются значения параметра и , при которых существуют точки прямой и лучей и , расположенных в заштрихованной полосе, а точки вне этой полосы не находятся на указанных прямой и лучах.
Рис. 10
Ответ: при уравнение имеет хотя бы один корень на отрезке [-1;2], а вне этого отрезка корней не имеет [20, № 5].