Трансцендентные уравнения с параметрами и методы их решений

дипломная работа

2.4 Тригонометрические уравнения с параметрами

Тригонометрическое уравнение - уравнение, содержащее тригонометрические функции неизвестного аргумента.

Формулы решений простейших тригонометрических уравнений:

1.

2.

3.

4. [2].

При решении тригонометрических уравнений удобно использовать следующие принципы:

1. При решении простейшего тригонометрического уравнения удобно понизить его степень за счет изменения его аргумента.

2. В случае необходимости проверки удобно подставлять в уравнение не значение найденного аргумента, а значения используемых в решении тригонометрических функций [15].

Пример 1. Для всех допустимых значений параметра a решить уравнение

Решение.

Преобразуем уравнение.

Согласно выше указанному принципу 1, преобразуем первое уравнение системы:

Отметим, что .

Таким образом, уравнение (1) равносильно системе:

В результате, чтобы уравнение (1) не имело решений, достаточно выполнения неравенства .

Пусть

.

Теперь, когда первое уравнение системы (2) всегда имеет решения, нужно позаботиться о выполнении ее второго словия.

На основании вышеизложенного принципа 2 равносильными преобразованиями:

приведем систему (2) к виду:

Таким образом, при ограничении на параметр возникают следующие дополнительные условия: для того, чтобы уравнение (1) НЕ имело решений необходимо и достаточно, чтобы любое значение переменной x, для которой

удовлетворяло совокупности уравнений:

1) Если , то .

Однако при таких a уравнение (3) принимает вид и не всякое его решение удовлетворяет совокупности (4).

Таким образом, при уравнение (1) имеет решениями те значения переменной x, для которой , т. е. .

2) Если , то , т. е.

.

При таких значениях параметра a уравнение (3) принимает вид:

Чтобы уравнение (1) имело, решения нужно, чтобы .

Тогда остается, что .

При остальных уравнение имеет решение вида

.

Ответ: при уравнение решений не имеет; при ; при ; при [16, №1].

Пример 2. Определить количество корней уравнения

на отрезке .

Решение.

Преобразуем левую часть.

Тогда исходное уравнение примет вид

Перенесем все слагаемые в левую часть и снова преобразуем уравнение.

Первое уравнение на отрезке имеет четыре корня:

Второе уравнение при корней не имеет. Если , то очевидно, на рассматриваемом отрезке уравнение имеет единственное решение. Если , то , т.е. на отрезке уравнение имеет два корня.

Заметим, что при корни второго уравнения совокупности содержатся среди корней первого уравнения.

Ответ: при уравнение имеет ыетыре корня; при уравнение имеет пять корней; при уравнение имеет шесть корней [7, № III.27].

Пример 3. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение

имеет ровно семь решений.

Решение.

Замена:

Тогда .

На координатной плоскости cOb построим множество всех точек, удовлетворяющих системе (2).

Первое уравнение задает семейство прямых, параллельных прямой .

Второе уравнение - семейство окружностей радиуса с центром в начале координат.

Но при выполнении условий второе уравнение есть четверть окружности, расположенная в первой координатной четверти. c и b одновременно не могут равняться нулю, иначе окружность вырождается в точку.Т. к. количество корней должно быть нечетно, то одна из прямых

должна касаться окружности в точку Mn.

Найдем радиус такой окружности.

.

.

Таким образом, (3)

выражает зависимость параметра a от n, где .

Рис. 12

Из рисунка видно, что с увеличением радиуса четверти окружности растет число решений системы (2), а значит, и число корней исходного уравнения. Их будет ровно 7, когда четверть окружности касается прямых . При этом, исходя из формулы (3)

Ответ: уравнение имеет семь решений при

.

Примечание. На первый взгляд может показаться, что четверть окружности, касающаяся прямой, заданной уравнением пройдет четез точки и . В действительности это не так, так как радиус такой окружности

Аналогично четверть окружности, касающаяся прямой не пройдет через точки и , так как радиус этой окружности

[10, № 1].

Пример 4. Найдите все значения параметра a, при которых число 2 является корнем уравнения

Решение.

Поставим в уравнение Получим уравнение относительно параметра a:

Ответ: при корнем уравнения является [9, № 50].

Пример 5. Для всех допустимых значений параметра a решите уравнение

.

Решение.

Рассмотрим функцию . Очевидно, .

Рассмотрим функцию .

Используя неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух положительных чисел (), а также свойство нечетности функции g(x), получим

.

Таким образом, имеем

.

Тогда, по теореме 7, исходное уравнение равносильно совокупности двух систем

Ответ: при , ; при ; при решений нет [23, № 53].

Помимо тригонометрических уравнений среди задач с параметрами встречаются и задачи с параметрами, содержащие обратные тригонометрические функции.

Напомним определения обратных тригонометрических функций:

1. - это функция, определенная на отрезке [-1;1], обратная функции . Таким образом,

Для любого x из отрезка [-1;1] имеем:

2. - это функция, определенная на отрезке [-1;1], обратная функции . Таким образом,

Для любого x из отрезка [-1;1] имеем:

3. - это функция, определенная на интервале , обратная функции . Таким образом,

Для любого x имеем:

4. - это функция, определенная на интервале , обратная функции . Таким образом,

Для любого x имеем:

Функции называются обратными тригонометрическими функциями или аркфункциями. Отметим некоторые важные тождества

Пример 6. Для каждого допустимого значения параметра a решить уравнение

Решение.

Преобразуем левую часть уравнения, воспользовавшись тождеством

.

На координатной плоскости tOb (рис. 12) множество всех точек (t;b), значения координаты и параметра каждой из которых удовлетворяют смешанной системе (2), (3), представляет собой часть параболы расположенной в области задаваемой неравенствами системы (2), (3).

Следовательно, если

, то .

Рис. 13

Ответ: если , то ;

если , то решений нет [13, № 79].

Пример 7. Найдите все значения параметра a, при каждом из которых уравнение

имеет ровно три решения.

Решение.

Перепишем исходное уравнение в виде

.

Поскольку равенство равносильно тому, что и , исходное уравнение равносильно тригонометрическому уравнению

Решим уравнение (1).

Если , то

При совокупность, а значит и уравнение (1), имеет бесконечно много корней вида: , которые удовлетворяют условию (2). Т. е. не удовлетворяет требованию задачи.

При уравнение (1) имеет бесконечно много корней вида: .

Для них условие (2) превращается в неравенство

Параметр a включается в ответ тогда и только тогда, когда это неравенство имеет ровно три целочисленных решения. Используя геометрическую интерпретацию модуля разности двух чисел, видно, что это равносильно неравенству

Учитывая условие , получаем

Если решением уравнения (1) являются все действительные числа, условие же (2) принимает вид: , так что множество решений исходного уравнение - это интервал . Поскольку это множество бесконечно, значение не входит в ответ.

Ответ: при уравнение имеет ровно три решения [24, № 3.59].

Исходя из всех рассмотренных задач, можно сделать вывод, что решать трансцендентные уравнения с параметрами первого и четвертого типов лучше всего методом «ветвления», т. к. требуется найти все значения переменной при каждом возможном значении параметра (или при значениях параметра из заданного промежутка) или же при которых множество решений удовлетворяет заданным условиям. Однако такой метод не всегда надежен, поскольку ход решения достаточно длителен и сложен, поэтому изначально целесообразно определить, возможно ли применить к заданному уравнению функциональный подход, который значительно упрощает решение.

А вот решать трансцендентные уравнения с параметрами второго и третьего типов значительно проще, используя графический метод, поскольку в условии всего лишь требуется определить либо количество решений в зависимости от значения параметра, либо, наоборот, значения параметра, при которых задача имеет заданное количество решений. Из построенных графиков наглядно видно, когда выполняются заданные условия.

Однако не всегда возможно применение того или иного метода, иногда встречаются и такие задачи, для решения которых нужно применить не один, а несколько методов решения.

Делись добром ;)