Использование ограниченности функций

В практике централизованного тестирования не так уж редко встречаются уравнения, решение которых основывается на ограниченности функций и . Например:

Пример Решить уравнение .

Решение. Поскольку , , то левая часть не превосходит и равна , если

Для нахождения значений , удовлетворяющих обоим уравнениям, поступим следующим образом. Решим одно из них, затем среди найденных значений отберем те, которые удовлетворяют и другому.

Начнем со второго: , . Тогда , .

Понятно, что лишь для четных будет .

Ответ. .

Другая идея реализуется при решении следующего уравнения:

Пример Решить уравнение .

Решение. Воспользуемся свойством показательной функции: , .

Сложив почленно эти неравенства будем иметь:

Следовательно левая часть данного уравнения равна тогда и только тогда, когда выполняются два равенства:

т. е. может принимать значения , , , а может принимать значения , .

Ответ. , .

Пример Решить уравнение .

Решение. , . Следовательно, .

Ответ. .

Пример Решить уравнение

Решение. Обозначим , тогда из определения обратной тригонометрической функции имеем и .

Так как , то из уравнения следует неравенство , т.е. . Поскольку и , то и . Однако и поэтому .

Если и , то . Так как ранее было установлено, что , то .

Ответ. , .

Пример Решить уравнение

Решение. Областью допустимых значений уравнения являются .

Первоначально покажем, что функция

при любых может принимать только положительные значения.

Представим функцию следующим образом: .

Поскольку , то имеет место , т.е. .

Следовательно, для доказательства неравенства , необходимо показать, что . С этой целью возведем в куб обе части данного неравенства, тогда

Полученное численное неравенство свидетельствует о том, что . Если при этом еще учесть, что , то левая часть уравнения неотрицательна.

Рассмотрим теперь правую часть уравнения .

Так как , то

.

Однако известно, что . Отсюда следует, что , т.е. правая часть уравнения не превосходит . Ранее было доказано, что левая часть уравнения неотрицательна, поэтому равенство в может быть только в том случае, когда обе его части равны , а это возможно лишь при .

Ответ. .

Пример Решить уравнение

Решение. Обозначим и . Применяя неравенство Коши-Буняковского, получаем . Отсюда следует, что . C другой стороны имеет место . Следовательно, уравнение не имеет корней.

Ответ. .

Пример Решить уравнение:

Решение. Перепишем уравнение в виде:

Ответ. .