Тригонометрические функции

учебное пособие

7.7. Формулы преобразования сумм в произведение

47

48

49

50

51

52

53

54

7.8. Формулы для решения уравнений

55

sinx=a,--x=--(-1)--narcsina+pn,--nОZ--(|a|Ј1);--

56

cosx=a,--x=±arccosa+2pn,--nОZ--(|a|Ј1);--

57

tgx=a,--x=arctga+pn,--nОZ--(aОR);--

58

ctgx=a,--x=arcctga+pn,--nОZ--(aОR);--

7.9. Формулы приведения

Эти формулы дают возможность:

1) находить значения тригонометрических функций любых углов, используя лишь значения углов, не превышающих 90°;

2) совершать преобразования, упрощающие вид формул. Они верны для любого угла б, условно считая его острым.

Контрольные вопросы:

1) Какие единицы измерения углов вы знаете?

2) Какие параметры определяют радианную меру?

3) Отношением каких сторон прямоугольного треугольника определяются тригонометрические выражения?

4) Какие функции называют периодическими?

5) Назовите периоды функций для тригонометрических функций.

6) Перечислите свойства необходимые для определения при исследовании тригонометрических функций.

7) Назовите область определения и область значений тригонометрических функций.

8) Определите равенство, при котором выполняется условие четности (нечетности) функции.

Практические задания

Практические задание №1

Тема: Преобразование графиков тригонометрических функций.

Цель: закрепить методику построения графиков тригонометрических функции, правила преобразования графиков.

Вариант №1

Вариант №2

1. Постройте график функции ;

2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции;

3. Определите нули функции.

1. Постройте график функции ;

2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции;

3. Определите нули функции.

Вариант №3

Вариант №4

1. Постройте график функции ;

2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции;

3. Определите нули функции.

1. Постройте график функции ;

2. Укажите промежутки возрастания и убывания функции;

3. Определите нули функции.

Практические задание №2

Тема: Исследование тригонометрических функций и построение их графиков

Цель: Изучение свойств тригонометрических функций. Отработать методику построения тригонометрических функций.

Вариант №1

Вариант №2

1. Постройте график функции. По графику найдите: ; ; участки возрастания и убывания функции; наибольшее и наименьшее значение.

1)

2)

1)

2)

2. Известно, что . Найдите .

2. Известно, что . Найдите .

3. Известно, что . Найдите .

3. Известно, что . Найдите .

4. Решите графически уравнение

1) ;

2)

1) ;

2)

Практические задание №3

Тема: Преобразование тригонометрических выражений

Цель: Научить применять основные тригонометрические формулы при преобразовании тригонометрических выражений.

Вариант №1

Упростить выражения

Вариант №2

Упростить выражения

Практические задание №4

Тема: Обратные тригонометрические функции.

Цель: Выработать прочные навки примененния изученных формул при решении тригонометрических уравнений.

Уровень А.

Вариант 1

Вариант 2

Вычислите:

1.

2.

3.

4.

5.

1.

2.

3.

4.

5.

Вычислите:

;

;

;

;

Решить уравнения

1) ;

2)

1) ;

2)

Уровень Б.

Найти область определения функций:

Вариант 1

Вариант 2

Практические задание №5

Тема: Решение простейших тригонометрических уравнений

Цель: Выработать у учащихся навыки решения более сложных тригонометрических уравнений, выделив общую идею решения.

Вариант 1

1. Вычислите:

1) ;

2) ;

3) .

2. Решить уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вариант 2

1. Вычислите:

1) ;

2) ;

3) .

2. Решить уравнение:

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Вариант 3

1. Вычислите:

1) ;

2) ;

3) .

2. Решить уравнение:

1) ;

2) ;

3) .

Вариант 4

1. Вычислите:

1) ;

2) ;

3) .

2. Решить уравнение:

1) ;

2) ;

3) .

Практические задание №6

Тема: Решение тригонометрических уравнений

Цель: Выработать навыки примененния изученных формул при решение уравнений.

Вариант 1

Вариант 2

Решить уравнения

Вариант 1

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

5) ;

6) ;

7) ;

8)

Вариант 2

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

5) ;

6) ;

7) ;

8)

Практические задание №7

Тема: Решение тригонометрических уравнений с помощью формул.

Цель: Выработать прочные навыки примененния изученных формул.

Решите уравнения методом сведения к квадратному уравнению

Вариант 1.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Вариант 2.

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Практические задание №8

Тема: Решение тригонометрических уравнений с помощью разложения на множители.

Цель: Выработать прочные навыки примененния изученных формул при разложении тригонометрических выражений на множители для решения тригонометрических уравнений.

Решите уравнения методом разложения на множители.

Вариант 1.

1)

2)

3)

4)

Вариант 2.

1)

2)

3)

4)

Практические задание №9

Тема: Решение тригонометрических неравенств.

Цель: Выработать прочные навыки примененния изученных формул при решении тригонометрических неравенств.

Вариант 1

Вариант 2

Решите неравенство:

1) ;

2) ;

3) ;

4)

Решите неравенство:

1) tgx<-1;

2) ;

3) ;

4) .

Практическое занятие №10

Тема: Решение систем уравнений.

Цель: Отработать различенные методы решения систем неравенств, содержащих тригонометрические уравнения.

Решите систему уравнений.

1)

2)

3)

3)

4)

Контрольный срез.

I - вариант

1. Укажите четные функции.

А) cosx B) sinx C) tgx D) ctgx E) sinx, cosx

2. Единицами измерения угла являются …

А) радиус B) сантиметр C) радиус и радиан

D) градус и радиан E) радиус и радиан

3. Четная функция симметрична относительно:

А) оси Ох B) оси Оу C) асимптоты функции D) диогонали координатной плоскости E) четная функция не симметрична

4. Синус угла - это отношение …

А) противолежащего катета к гипотенузе

В) прилежащего катета к гипотенузе

С) противолежащего катета к прилежащему

D) прилежащего катета к противолежащему

E) сумма катетов к квадрату гипотенузы

5) Определите область значений для y=sinx.

А) В) С)

D) Е)

6. Вычислите: - +

A) B) - C) - D) 0,5 + E) 2

7. Вычислите: + +

A) 1 B) - 1 C) - 2 D) - 1 E) + 1

8. Вычислите: + +

A) 0 B) - 1 C) 1 + D) - 1 E) 1

9. Упростите выражение .

A) - B) - C) D) E)

10. Укажите наименьшее значение функции на промежутке .

A) - 1/2 B) - 1 C) 0 D) - E) -

11. Найти множество значений функции

A) [3; 5] B) [4; 5] C) [2; 5] D) [-1; 5] E) [1; 5]

12. Укажите период функции:

A) B) ?????C) D) ?????E) правильного ответа нет

13. Решите уравнение

A) 8 B) 4 C) 2 D) 16 E) 1

14. Какая из нижеследующих функций имеет наименьший положительный период?

A) B) C) D) E)

15. Какая из следующих функций нечетная?

A) B)

C) D) E)

16. Решите уравнение:

A) B)

C) D)

E)

17. Решите уравнение:

A) B)

C) D)

E)

II - вариант

1. Укажите нечетные функции.

А) cosx B) tgx, cosx C) tgx, sinx D) ctgx, cosx E) sinx, cosx

2. Радианной мерой утла называется отношение:

А) B) C) D) E)

3. Назовите период для функций cosx, sinx.

A) р B) 3р C) р/2 D) р/3 E) 2р

4. Косинус угла - это отношение …

А) противолежащего катета к гипотенузе

В) прилежащего катета к гипотенузе

С) противолежащего катета к прилежащему

D) прилежащего катета к противолежащему

E) сумма катетов к квадрату гипотенузы

5) Определите область значений для y=cosx.

А) В) С)

D) Е)

6. Какое из следующих чисел отрицательное?

A) B)

C) D) E)

7. Какое из нижеследующих чисел отрицательное?

A) B)

C) D) E)

8. Какие из следующих чисел , , и отрицательные?

A) B) C) D) E) таких нет

9. Упростите выражение:

A) B) C) D) E)

10. Упростите:

A) 0 B) 4 C) 2sin2 D) 1 E) 1 + 2sin2

11. Найдите наименьшее значение функции на отрезке [].

A) 0 B) C) 2 - D) 1 E) 2 -

12. Определите наименьший положительный период функции

A) B) C) D) E)

13. Найдите наименьший положительный период функции

A) 2 B) C) D) E)

14. Упростите выражение:

A) 2sin B) 2 C) D) 1 E) 3

15. График какой из указанных функций изображен на рисунке?

A) B) C)

D) нет ответа E) -

16. Упростите:

A) 2sin B) cos C) - 2cos D) - sin E) - sin

17. Решите уравнение:

A) B)

C) D)

E)

Ключ ответов:

I - вариант

II - вариант

1

A

1

C

2

D

2

B

3

B

3

E

4

A

4

B

5

A

5

A

6

C

6

B

7

B

7

D

8

E

8

E

9

E

9

D

10

E

10

A

11

E

11

D

12

A

12

A

13

A

13

D

14

C

14

D

15

B

15

E

16

Е

16

E

17

С

17

А

Литература

1) А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницин и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2001

2) Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. "Алгебра и начала анализа" Учебник для 10-11 классов общеобразовательных учреждений, М., Просвещение, 2000

3) В.А. Малугин "Математика для экономистов. Линейная алгебра", М., "Эксмо", 2006

4) В.И. Ермаков "Справочник по математике для экономистов", М., "Высшая школа", 1997

Отзыв

На учебное пособие "Тригонометрические функции", предмет "Математика", преподаватель Нургалиев А.З.

В учебном пособии "Тригонометрические функции", преподаватель Нургалиев А.З. дает весь необходимый теоретический материал для решения задач по данной теме. Кроме того в данном учебном пособии имеется в полном объеме перечень практических заданий для оценки знаний учащихся, с приведенными примерами решения. В учебном пособии рассмотрены следующие вопросы: углы их измерение, тригонометрические функции острого угла, основные свойства тригонометрических функций, тригонометрические уравнения и неравенства. Для наглядности в учебном пособии приведены графики функций, таблицы со схемами решений тригонометрических неравенств, основные формулы тригонометрии и их следствия. Положительным можно отметить то, что в данном учебном пособии имеются тесты для итоговой оценки знаний по данному разделу, контрольные вопросы для самопроверки знаний и прилагается рабочая тетрадь "Тригонометрия".

Данное учебное пособие можно рекомендовать использовать для изучения предмета "Математика".

Преподаватель: Наурызбаева Н.Т.

Приложения

Тригонометрия.

ФИО студента: _________________

Гр.: ____________

Тригонометрия.

ФИО студента: _________________

Гр.: ____________

"right">2

"right">2

Знаки тригонометрических функций

"right">2

Знаки тригонометрических функций

"right">2

"right">2

"right">2

"right">2

Таблица Брадиса

Градусы

0о

30о

45о

60о

90о

180о

Радианы

0

р

sinб

cosб

tgб

ctgб

Таблица Брадиса

Градусы

0о

30о

45о

60о

90о

180о

Радианы

0

р

sinб

cosб

tgб

ctgб

Основные формулы тригонометрии.

Основные тождества и их следствия.

1

5

2

6

3

7

4

8

Формулы понижения степени

9

10

Основные формулы тригонометрии.

Основные тождества и их следствия.

1

5

2

6

3

7

4

8

Формулы понижения степени

9

10

Формулы сложения и вычитания аргументов

11

15

12

16

13

17

14

18

Формулы двойного аргумента

19

21

20

22

Формулы половинного аргумента

29

32

30

33

31

34

Формулы сложения и вычитания аргументов

11

15

12

16

13

17

14

18

Формулы двойного аргумента

19

21

20

22

Формулы половинного аргумента

29

32

30

33

31

34

Формулы преобразования произведения в сумму

39

40

41

42

43

44

45

46

Формулы преобразования произведения в сумму

39

40

41

42

43

44

45

46

Делись добром ;)