Уравнение Дирака в квантовой теории

курсовая работа

4. Общее решение уравнения Дирака

Уравнение Дирака имеет решение в виде плоских волн:

  • (4.1)
  • где - 4-компонентный спинор, удовлетворяющий уравнению
  • (4.2)
  • Скалярное произведение двух спиноров и записывается в виде
  • (4.3)
  • Если I - единичная матрица, а - Матрицы Паули, то тогда матрицы
  • (4.4)
  • эрмитовы и антикоммутируют друг с другом.
  • При таком определении скалярного произведения гамильтониан эрмитов:
  • (4.5)
  • (здесь учтено, что и ), и поэтому его собственные значения действительны. Уравнение (4.2) является системой четырех линейных однородных уравнений для компонент . Нетривиальные решения существуют только, если . Итак, уравнение имеет решение только тогда, когда , т.е. . Пусть будет решением, соответствующим и, следовательно, удовлетворяющим уравнению
  • (4.6)
  • Если представить решение в виде , где и имеют по две компоненты, и если принять для матриц и представление (4.4), то получим уравнение для и :
  • (4.7а)
  • (4.7б)
  • С учетом того, что , находим из (4.7б)
  • (4.8)
  • а подставляя это выражение обратно в (4.7а), получаем уравнение
  • (4.9)
  • Однако, поскольку и
  • (4.10)
  • то мы приходим к заключению, что уравнение (4.7а) удовлетворяется тождественно. Таким образом, при каждом значении импульса p имеются два линейно независимых решения с положительной энергией, которые соответствуют, например, выбору в виде и . Это же можно выяснить и несколько другим путем. Оператор Гамильтона коммутирует с эрмитовым оператором
  • (4.11)
  • Где
  • (4.12)
  • Оператор называется оператором спиральности, или, просто, спиральностью частицы. С физической стороны он соответствует проекции спина частицы на направление движения. Так как коммутации H и в качестве решений, то можно выбрать общие собственные функции этих операторов. Но, т.к. , то собственные значения операторов равны . Решение с заданным импульсом и фиксированном знаком энергии можно классифицировать и решения с отрицательной энергией, когда . В этом случае снова имеются два линейно независимых решения, соответствующих собственным значениям +1 и - 1 оператора . Итак, при фиксированном импульсе p уравнение Дирака имеет четыре линейно независимых решения, характеризующихся решениями
  • Явный вид двух линейно независимых решения уравнения Дирака с импульсом p и положительной энергией следующий:
  • (4.13а)
  • (4.13б)
  • Нормировочные множители здесь определены из условия . Отметим, что эти два решения ортогональны друг другу:
  • (4.14)
  • Выписанные решения не являются собственными функциями оператора . Решения с положительной энергией и с определенной спиральностью можно получить, если принять во внимание, что уравнение записывается в виде
  • (4.15а)
  • (4.15а)
  • где и - верхние и нижние пары компонент спинора , а n - единичный вектор, направленный по p, . Отсюда для нормированных величин получаем выражение
  • (4.16а)
  • (4.16б)
  • Таким образом, нормированная собственная функция со спиральностью +1 и с положительной энергией записывается в виде
  • (4.17)
  • Делись добром ;)