Уравнение Лапласа, решение задачи Дирихле в круге методом Фурье

курсовая работа

4.Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье

Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению:

внутри круга

И граничному условию

на границе круга,

Где - заданная функция, - полярный угол.

Введем полярную систему координат с началом в центре круга.

- полярные координаты.

Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид

Решим уравнение методом разделения переменных, то есть будем искать частное решение уравнения (1), вида

Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (3), получим

Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:

Определим знак :

1 случай. Пусть например

Рассмотрим уравнение (5)

Характеристическое уравнение имеет вид

Это решение не подходит, так как при изменении угла на величину однозначная функция должна вернуться к исходному значению (условие периодичности).

Отсюда следует, что является периодической функцией угла с периодом .

2 случай Пусть , тогда

- это решение подходит для уравнения (5) системы при условии, что А=0.

Рассмотрим уравнение (4) системы:

Пусть , тогда:

Таким образом, получаем: - решение уравнения в общем случае.

3 случай Пусть .

Решение уравнения (5):

причем q.

Рассмотрим уравнение (4) системы:

Функцию будем искать в виде

Подставим в уравнение (4):

Следовательно, - решение уравнения, где C и D-постоянные. Для решения внутренней задачи надо положить , так как, если , то функция обращается в бесконечность при и не является гармонической функцией внутри круга. Итак, частные решения нашей задачи найдены:

,

вид общего решения.

Удовлетворим краевому условию:

Считая , что задана как функция угла , возьмем ее разложение в ряд Фурье

Подставляя выражения для коэффициентов Фурье в формулу (6) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим

Произведем следующие тождественные преобразования:

Подставляя полученный результат в равенство (8), получаем:

интегральная формула, дающая решение задачи.

Ядро Дирихле.

Делись добром ;)