Уравнение Лапласа, решение задачи Дирихле в круге методом Фурье
4.Решение задачи Дирихле в круге методом Фурье
Найти функцию U, удовлетворяющую уравнению:
внутри круга
И граничному условию
на границе круга,
Где - заданная функция, - полярный угол.
Введем полярную систему координат с началом в центре круга.
- полярные координаты.
Уравнение (1) в полярных координатах имеет вид
Решим уравнение методом разделения переменных, то есть будем искать частное решение уравнения (1), вида
Подставляя предполагаемую форму решения в уравнение (3), получим
Отсюда получим два обыкновенных дифференциальных уравнения:
Определим знак :
1 случай. Пусть например
Рассмотрим уравнение (5)
Характеристическое уравнение имеет вид
Это решение не подходит, так как при изменении угла на величину однозначная функция должна вернуться к исходному значению (условие периодичности).
Отсюда следует, что является периодической функцией угла с периодом .
2 случай Пусть , тогда
- это решение подходит для уравнения (5) системы при условии, что А=0.
Рассмотрим уравнение (4) системы:
Пусть , тогда:
Таким образом, получаем: - решение уравнения в общем случае.
3 случай Пусть .
Решение уравнения (5):
причем q.
Рассмотрим уравнение (4) системы:
Функцию будем искать в виде
Подставим в уравнение (4):
Следовательно, - решение уравнения, где C и D-постоянные. Для решения внутренней задачи надо положить , так как, если , то функция обращается в бесконечность при и не является гармонической функцией внутри круга. Итак, частные решения нашей задачи найдены:
,
вид общего решения.
Удовлетворим краевому условию:
Считая , что задана как функция угла , возьмем ее разложение в ряд Фурье
Подставляя выражения для коэффициентов Фурье в формулу (6) и меняя порядок суммирования и интегрирования, получим
Произведем следующие тождественные преобразования:
Подставляя полученный результат в равенство (8), получаем:
интегральная формула, дающая решение задачи.
Ядро Дирихле.