4. Базиси в нормованому просторі

Система елементів банахового простоу називається базисом цього простору, якщо кожний елемент єдиним чином розвивається в збіжний в ряд

. (1)

Безпосередньо із означення випливає, що кожний базис є повною системою, але не навпаки. Наприклад, за теоремою Вейєрштрасса система є повною в , але не є базисом в цьому просторі, бо не кожна функція, неперервна (і навіть не кожна нескінченно диференційовна функція ) подається у вигляді суми рівномірно збіжного на ряду

.

Теорема 1. Якщо - ортонормована система гільбертового простору , ряд (1) є збіжним в до , то його коефіцієнти знаходяться за формулою .

Доведення. Справді,

,

якщо . Тому, враховуючи, що ряд (1) є збіжним в і скалярний добуток є неперервною функцією, отримуємо

,

звідки випливає потрібний висновок.

Теорема 2. Нехай - ортонормована система гільбертового простору . Тоді наступні умови є еквівалентними: 1) система є повною в просторі ; 2) система є базисом простору ; 3) для кожного справедлива рівність Парсеваля .

Доведення. Ця теорема є безпосереднім наслідком теореми 1 і теорем попереднього пункту.

Приклад 1. Система елементів

…,

є ортонормованою в і є базисом цього простору. Справді, ортонормованість цієї системи встановлюється безпосередньою перевіркою. Далі, для елемента маємо Тому ряд є збіжним. Отже, ряд також є збіжним в до деякого елемента . Покажемо, що . Справді,