4. Базиси в нормованому просторі
Система елементів банахового простоу називається базисом цього простору, якщо кожний елемент єдиним чином розвивається в збіжний в ряд
. (1)
Безпосередньо із означення випливає, що кожний базис є повною системою, але не навпаки. Наприклад, за теоремою Вейєрштрасса система є повною в , але не є базисом в цьому просторі, бо не кожна функція, неперервна (і навіть не кожна нескінченно диференційовна функція ) подається у вигляді суми рівномірно збіжного на ряду
.
Теорема 1. Якщо - ортонормована система гільбертового простору , ряд (1) є збіжним в до , то його коефіцієнти знаходяться за формулою .
Доведення. Справді,
,
якщо . Тому, враховуючи, що ряд (1) є збіжним в і скалярний добуток є неперервною функцією, отримуємо
,
звідки випливає потрібний висновок.
Теорема 2. Нехай - ортонормована система гільбертового простору . Тоді наступні умови є еквівалентними: 1) система є повною в просторі ; 2) система є базисом простору ; 3) для кожного справедлива рівність Парсеваля .
Доведення. Ця теорема є безпосереднім наслідком теореми 1 і теорем попереднього пункту.
Приклад 1. Система елементів
…,
є ортонормованою в і є базисом цього простору. Справді, ортонормованість цієї системи встановлюється безпосередньою перевіркою. Далі, для елемента маємо Тому ряд є збіжним. Отже, ряд також є збіжним в до деякого елемента . Покажемо, що . Справді,
- ВСТУП
- 1. Збіжність ряду в нормованому просторі
- 2. Збіжність ортогонального ряду в гільбертовому просторі
- 3. Ортонормована система. Ряд Фурє за ортонормованою системою
- 4. Базиси в нормованому просторі
- 5. Тригонометричний ряд Фурє в
- 6. Деякі властивості біортогональних систем
- 7. Біортогональні системи в деяких бананових просторах
- 8. Деякі властивості базисів бананових просторів
- 9. Деякі застосування рядів в бананових просторах
- ВИСНОВКИ
- 16.1.1. Кінематична класифікація механічних коливань
- 28.Соціально-психологічна класифікація сім’ї та її функції.
- 6.1. Гармонійні електричні величини
- 2. Від синхронізації життєдіяльності організму залежить:
- § 4.2. Види модуляції, застосовувані в системах із чпк, і їхні основні особливості
- 3. Амплітудна модуляція.
- 16. Проективна площина та її моделі, подвійне відношення 4-ох точок прямої. Гармонійні четвірки точок. Гармонійні вл-сті повного 4-ох вершинника.
- 8.2 Гармонійні хвилі
- I. 1. Що називається коливаннями? Гармонійні коливання, їхні основні характеристики.
- 2.3 Моделі, основи аналізу і загальні властивості стаціонарних безупинних лінійних систем