Уравнения и неравенства с модулем на централизованном тестировании

курсовая работа

Решение уравнений с использованием геометрической интерпретации

Геометрический смысл выражения --- длина отрезка координатной оси, соединяющего точки с абсциссами и . Перевод алгебраической задачи на геометрический язык часто позволяет избежать громоздких выкладок.

Пример Решим уравнение .

Решение. Будем рассуждать следующим образом: исходя из геометрической интерпретации модуля, левая часть уравнения представляет собой сумму расстояний от некоторой точки с абсциссой до двух фиксированных точек с абсциссами 1 и 2. Тогда все точки с абсциссами из отрезка обладают требуемым свойством, а точки, расположенные вне этого отрезка,--- нет.

Ответ. .

Пример Решим уравнение .

Решение. Рассуждая аналогично, получим, что разность расстояний до точек с абсциссами 1 и 2 равна единице только для точек, расположенных на координатной оси правее числа 2.

Ответ. .

Пример Решить неравенство .

Решение. Изобразим на координатной прямой точки, сумма расстояний от которых до точек и в точности равна . Это все точки отрезка . Для всех чисел вне данного отрезка сумма расстояний будет больше двух.

Ответ. .

Замечание. Обобщением решения вышеприведенных уравнений являются следующие равносильные переходы:

Пример Решите неравенство: .

Решение. Решим неравенство, используя координатную прямую. Данное неравенство выполняется для всех точек c координатой , которые находятся ближе к точке с координатой , чем к точке с координатой . Так как , то искомыми являются все точки, расположенные левее точки с координатой .

Ответ. .

Пример Решите уравнение .

Решение. Рассмотрим на числовой прямой точку с координатой . Сумма равна сумме расстояний от точки до точек с координатами 2, 1, 0, -1, -2. Заметим, что сумма расстояний от любой точки до точек и не меньше длины отрезка (и равенство достигается тогда и только тогда, когда точка расположена на отрезке ). Отсюда получаем, что не меньше 4, а не меньше 2 при любом . Поэтому для того, чтобы сумма была равна , необходимо, чтобы . Итак, необходимо равен . Легко проверить, что значение действительно является решением данного уравнения.

Ответ. .

Пример Гальперин Г.А. Положительные числа , , и таковы, что система уравнений

имеет решений, а система уравнений

имеет решений. Известно, что . Найдите и .

Решение. Первое уравнение есть уравнение окружности, второму удовлетворяют точки квадрата с центром в начале координат и с диагоналями, принадлежащими осям координат. Система из двух первых уравнений в зависимости от и либо не имеет решений, либо имеет четыре решения, либо восемь. Итак, может равняться либо 0, либо 4, либо 8. Первое уравнение второй системы есть уравнение сферы. Второму удовлетворяют точки октаэдра с центром в начале координат и с вершинами, лежащими на осях координат на равных расстояниях от центра. Эта система в зависимости от и либо не имеет решений, либо имеет 6 решений (вершины октаэдра лежат на сфере), либо имеет 8 решений (сфера касается граней октаэдра), либо имеет бесконечное число решений (сфера пересекает грани октаэдра по окружностям или нескольким дугам окружностей). Итак, может равняться либо 0, либо 6, либо 8, либо . Условию удовлетворяет только вариант , .

Ответ. , .

Перевод алгебраической задачи на геометрический язык --- удобный и мощный метод решения задач. В качестве еще одного примера разберем блок задач олимпиады математико-механического факультета СПбГУ:

Пример Дана функция: .

а) Решите уравнение ;

б) Решите неравенство ;

в) Найдите количество решений уравнения в зависимости от значений параметра .

Решение. Построим график функции . Для этого заметим, что , а тогда мы можем сначала построить график функции , и затем отразить его относительно оси ординат. Преобразуем выражение, задающее функцию :

Поскольку данная система определяет верхнюю полуокружность радиуса 2 с центром в точке (2; 0), график исходной функции представляет собой объединение двух полуокружностей (см. рис. ).

Теперь решение задач не представляет труда:

а) Корень уравнения есть абсцисса точки пересечения прямой с графиком функции . Найдем ее геометрически: заштрихованный на рисунке прямоугольный треугольник является равнобедренным (угловой коэффициент прямой равен ), его гипотенуза есть радиус окружности, ее длина 2. Тогда длина катета, лежащего на оси абсцисс, есть , а искомая абсцисса равна .

б) Неравенство выполнено при всех из отрезка .

в) При , решений нет, при уравнение имеет три решения, при --- четыре решения, при --- два решения.

Делись добром ;)