Устойчивость по Ляпунову
Устойчивость решений дифференциальных систем и функции Ляпунова
Многие колебательные системы описываются дифференциальными уравнениями с малым параметром при производных: или, в векторной форме где -- малый положительный параметр, -- неизвестные функции времени t, характеризующие данную систему...
Рассмотрим задачу Коши (2.2.1) Функция непрерывна по переменной и бесконечно дифференцируемая по переменным и при , , . Предполагается, что вырожденная задача (2.2.2) имеет единственное решение при , причем . Полагая (2.2...
Представление системы дифференциальных уравнений первого порядка с начальными условиями можно заменить системой конечно-разностных уравнений первого порядка с целочисленной независимой переменной i ():...
Если коэффициенты линейной системы дифференциальных уравнений при стремятся к постоянным, то иногда возможно охарактеризовать поведение решений. Здесь рассматривается проблема для действительного переменного...
...
Рассмотрим систему Положим тогда учитывая свойства экспоненциала матрицы будем иметь или Так как то матрица неособенная. Поэтому из (2) получаем и, следовательно, где - матрица. Таким образом...
При исследовании на устойчивость точки покоя системы дифференциальных уравнений где - дифференцируемые в окрестности начала координат функции...
Определение. Пусть -- действительнозначная функция действительных переменных t и х с областью определения . Функция где t принадлежит некоторому интервалу , для которой всюду на I выполняется равенство (1...
Решение уравнения представляется геометрически графиком функции . Этот график определяет интегральную кривую на плоскости . Если X непрерывна в D, то предложение 1 утверждает, что интегральные кривые заполняют область D плоскости...
Получаем где - любая нечетная непрерывная функция. Наряду с дифференциальной системой (1) рассмотрим возмущенную систему (2), где - любая непрерывная нечетная функция. Известно по [3]...
Наряду с дифференциальной системой будем рассматривать множество систем где непрерывная скалярная нечётная функция, а произвольная непрерывно дифференцируемая вектор-функция. Систему назовём возмущённой, а добавку возмущением...
Рассмотрим систему Лемма 6.1. Пусть периодическая дифференциальная система с решением и отражающей функцией эквивалентна в смысле совпадения отражающих функций некоторой дифференциальной системе с решением и отражающей функцией...
Докажем теперь, что существует периодическое решения системы (1.8) для достаточно малых значений . И что это решение - периодические функции . Для этого достаточно доказать, что фазовые траектории в плоскости замкнутые и сохраняет знак...
...
Рассмотрим систему вида где определена и непрерывна на , где --- некоторый промежуток прямой, а --- область -мерного пространства . Определение. Будем говорить, что вектор-функция удовлетворяет на множестве локальному условию Липшица по...