Гармонійні функції
9. Деякі застосування рядів в бананових просторах
Теорема 7. Якщо послідовності , і , є біортогональні, а рівняння , де для кожного мають точно один розвязок , то із збіжності ряду випливає збіжність ряду для кожної послідовності чисел .
Доведення. Як легко бачити, з рівностей: і , де , випливає рівність . Отже, на підставі теореми 7 (Кожна адитивна операція , що задовольняє умову: з і випливає , є лінійна), операція є лінійна. Тим самим, покладаючи , маємо , а тому що за означенням для одержуємо для всяких дійсних , звідки випливає безпосередньо твердження нашої теореми.
Висновок. Якщо і - ортогональні, нормовані послідовності неперервних функцій і для кожної неперервної функції існує тільки одна неперервна функція така, що , то з рівномірної збіжності ряду випливає рівномірна збіжність ряду .
Аналогічні висновки одержуємо для інших функціональних просторів.
Теорема 8. Нехай , - біортогональна послідовність, де - тотальна послідовність, а послідовність чисел така, що тоді, коли є послідовність коефіцієнтів елемента (тобто для ), то є послідовність коефіцієнтів елемента .
Коли при цих умовах є послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала (тобто для ), то є послідовність коефіцієнтів деякого лінійного функціонала .
Доведення. За умовою система рівнянь , де для кожного має точно один розвязок. Позначимо його через .
З рівностей: і , де , випливає очевидно рівність . Отже, на основі теореми 7 (Кожна адитивна операція , що задовольняє умову: з і випливає , є лінійна), операція є неперервна.
Зокрема, легко бачити, що:
для всіх (9)
Отже, якщо дано такий лінійний функціонал , що для , то за формулою (9) маємо , тобто числа є коефіцієнтами операції , що й треба було довести.
Зауважимо, що при вираз на основі (9) є границею лінійних комбінацій, утворених з членів послідовності .
Як застосування цього зауваження легко одержуємо таку теорему.
Теорема 9. Нехай - ортогональна, нормована і замкнена в просторі послідовність неперервних функцій.
Якщо послідовність множників перетворює всяку послідовність коефіцієнтів обмеженої функції в послідовність коефіцієнтів обмеженої функції, то вона перетворює одночасно кожну послідовність коефіцієнтів довільної неперервної функції також у послідовність коефіцієнтів якоїсь неперервної функції.
Обернена теорема також справедлива.
Нарешті, маємо:
Теорема 10. Нехай - ортогональна, нормована і повна в просторі , де , послідовність обмежених функцій.
Якщо послідовність множників перетворює послідовність коефіцієнтів довільної функції в послідовність коефіцієнтів певної функції , то вона перетворює також кожну послідовність коефіцієнтів довільної функції в послідовність коефіцієнтів певної функції .
Коли , то .
Негармонійні ряди Фурє. Нехай - довільна послідовність комплексних чисел. Ряд
називається узагальненим тригонометричним рядом або рядом Діріхле, або негармонійним рядом Фурє. Питання про можливість розкладу довільної функції в збіжний в цьому просторі
1
Вперше розглянув Н.Вінер[. Він довів наступне твердження.
Теорема. Нехай - довільна послідовність різних дійсних чисел таких, що
, .
Тоді система є базисом простору , тобто кожна функція єдиним чином розвивається у збіжний у цьому просторі ().