Фактор-группы. Cмежные классы

3.2 Фактор-группы

Пусть H -- нормальная подгруппа группы G. Обозначим через совокупность всех левых смежных классов группы G по подгруппе H, т.е. = ={xH | x G}. Положим

(xH)(yH) = xyH. (3.2.1)

Проверим, что это равенство задает алгебраическую операцию на множестве . Если xH = xH, yH = yH для некоторых x, y G, то x = xh, y = =yg, h и g H. Поэтому

(xH)(yH) = xyH = (xh)(yg)H = xy(yhy)gH = xyH,

т.к. yhy H по теореме 3.1.1. Таким образом, равенство (3.2.1) не зависит от выбора представителей смежных классов и каждой паре xH, yH ставится в соответствие единственный элемент xyH.

Ясно, что предложенная операция (3.2.1) определена на и ассоциативна. Элемент eH = H будет единичным, а элемент aH -- обратным к элементу aH. Таким образом, доказана следующая.

ТЕОРЕМА 3.2.1. Совокупность = {xH | x G} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией

(xH)(yH) = xyH

образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH) = aH.

Группа называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается через G/H.

Если H не будет нормальной подгруппой, то равенство (3.2.1.) не будет задавать алгебраическую операцию, и совокупность левых смежных классов не будет группой.

Очевидно, что если группа G конечна, то фактор-группа группы G по любой нормальной подгруппе H также будет конечной группой порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е.

|G/H |=| G : H |=| G | / | H |

ЛЕММА 3.2.1. Если фактор-группа G/Z(G) циклическая, то группа G абелева.

Доказательство.

Пусть G/Z(G) = gZ(G) циклическая группа и a, b -- произвольные элементы группы G. Тогдаa = gz, b = gz, z, z Z(G), k, l Z

и

ab = gzgz = ggzz = ggzz = gzgz = ba

ТЕОРЕМА 3.2.2. Все фактор-группы бесконечной циклической группы а исчерпываются бесконечной циклической группой а / E а и конечными циклическими группами aа порядка m для каждого натурального числа m.

Доказательство.

По теореме 1.2 все подгруппы бесконечной циклической группы A = а исчерпываются единичной подгруппой E и бесконечными циклическими подгруппами M = а, m N. Так как каждая циклическая группа абелева, то в ней любая подгруппа нормальна.

Фактор-группа A/E очевидно будет бесконечной циклической группой, изоморфной A. Так как A = {a | k Z}, то фактор-группа A/M состоит из смежных классов aM, k Z. Если два смежных класса совпадут aM = aM, то aM и s - t кратно m. Отсюда следует, что смежные классы M, aM, aM, . , aM попарно различны. Кроме того, для любого aM A/M имеем:

t = mq + r, 0 ? r < m и aM = aaM = aM.

Таким образом,

A/M = {M, aM, aM, . . . , aM} = aM,

т.е. фактор-группа A/M будет конечной циклической группой порядка m.

ТЕОРЕМА 3.2.3. Все фактор-группы конечной циклической группы a порядка n исчерпываются конечными циклическими группами aа порядка m для каждого натурального m, делящего n.

Доказательство.

По теореме 1.3, все подгруппы конечной циклической группы A = a порядка n исчерпываются циклическими подгруппами M = а порядка n/m для каждого натурального m, делящего n. Легко проверить, что

A/M = aM = {aM, aM, . . . , aM,M},

т.е. A/M=aа будет циклической группой порядка m.

Условимся через S(G,H) обозначать совокупность всех подгрупп группы G, содержащих подгруппу H. В частности, S(G,E)=S(G) -- совокупность всех подгрупп группы G, а S(G,G) = {G}.

ТЕОРЕМА 3.2.4.(Теорема о соответствии)

Пусть H -- нормальная подгруппа группы G. Тогда:

1) если U -- подгруппа группы G и H ? U, то = U/H -- подгруппа фактор-группы = G/H;

2) каждая подгруппа фактор-группы = G/H имеет вид = V/H, где V-- подгруппа группы G и H V ;

3) отображение : U > является биекцией множества S(G,H) на множество S();

4) если N S(G,H), то N -- нормальная подгруппа группы G тогда и только тогда, когда N/H - нормальная подгруппа фактор-группы G/H.

Доказательство.

(1) Пусть U S(G,H) и пусть ={uH | u U} -- совокупность смежных классов группы U по своей нормальной подгруппе H. Если uH, uH , то u, u U, а так как U -- подгруппа, то uu U и u U. Поэтому,

(uH)(uH) = uuH , (uH)= u H

и по критерию подгруппы (теорема 1.4) совокупность - подгруппа группы .

(2) Пусть -- произвольная подгруппа из . Тогда состоит из некоторых смежных классов группы G по подгруппе H. Обозначим через V множество всех тех элементов группы G, из которых состоят смежные классы, принадлежащие , т.е. V = {x G | xH }. Если v, v V, то vH, vH , а так как -- подгруппа, то

(vH)( vH) = v vH и (vH) = v H

Следовательно, v v V и v V , т.е. V -- подгруппа группы G. Ясно, что H ? Vэ

(3) Отображение : U > будет сюръекцией на основании утверждения (2). Докажем, что - инъекция. Пусть U и V -- подгруппы, содержащие H, и предположим, что подгруппы = {uH | u U} и = { vH | v V } совпадают. Тогда для любого элемента u U существует элемент v V такой, что uH = vH. Поэтому vu H ? V ? U. Теперь u V и U ? V . Аналогично проверяется обратное включение. Следовательно U = V и -- инъекция.

(4) Если N G, N S(G,H), то

(gH) (nH)(gH) = gngH N/H

для всех g G, n N. Поэтому = N/H . Обратно, если , то

gngH = (gH) (nH)(gH)

и gngH N, значит N G.

Пример: Найдем все фактор-группы группы S.

Среди подгрупп группы S со своими сопряженными совпадают следующие подгруппы: E, S, H= (см. пример выше). По теореме 4.1. эти три подгруппы нормальны в S. Ясно, что S/ S- единичная группа, а S/ E изоморфна S.Порядок подгруппы H= равен 3, а порядок S/ H равен 2. Поэтому S/ H - циклическая группа порядка 2.Смежные классы S по H исчерпываются классами H и (12)H. Таким образом, группа S имеет три фактор-группы: S/ H S, S/ SE, S/ H={H,(12)H}=.