Факторизації чотирьохмірних симплектичних груп
6. Структурні теореми. Порядки симплектичних груп
Пропозиція 32 Якщо поле нескінченно, те групи , над також нескінченні.
Доказ. Число трансвекцій з нескінченно.
Теорема 33 Порядок групи дорівнює
Порядок групи дорівнює
Доказ. Друге твердження треба з першого, тому що група ізоморфна групі . Доведемо перше твердження індукцією по . Якщо , то й можна вважати .
Під парою будемо розуміти впорядковану пару векторів , , таку, що . Якщо фіксовано, то існує єдина пара , де належить даній прямій, не ортогональної к. Тому число пар з на першому місці дорівнює числу прямих, що не лежать в , тобто
Таким чином, є пара з на першому місці, а всього пара.
Зафіксуємо яку-небудь пару . По теоремі Витта для кожної пари найдеться принаймні один елемент групи , що переводить в. Отже, є точно
елементів з , що переводять пари в парі . По припущенню індукції це число дорівнює
Далі, кожний елемент групи переводить точно в одну пару. Отже, група містить
елементів, що й було потрібно довести.
Пропозиція 34Якщо , те число максимальних цілком вырожденных підпросторів простору дорівнює
Доказ.1) Покажемо спочатку, що підгрупа групи , що залишає на місці довільне максимальне цілком вироджений підпростір простору , має порядок
Щоб переконатися в цьому, зафіксуємо симплектичну базу
простору , у якій вектори породжують . Із треба, що матриця довільного перетворення має вигляд
де , а - симетрична матриця порядку над ; ці й визначаються перетворенням однозначно. Крім того, будь-які такі й відповідають якомусь із . Наше твердження виходить тепер, якщо помножити порядок групи на число симетричних матриць порядку над полем , тобто .
2) Зафіксуємо максимальне цілком вироджений підпростір простору . По теоремі Витта всі максимальні цілком выроджені підпростору простору даються формулою , де пробігає групу . Із зауваження 1) легко треба, що в цьому процесі кожне максимальне цілком вироджений підпростір повторюється точно
раз, тому загальне число таких підпросторів дорівнює порядку групи , діленому на зазначену величину. Очевидно, це і є необхідне число.
Пропозиція 35 Якщо , те число регулярних площин у просторі дорівнює
Доказ. Надходячи, як при доказі твердження , переконаємося, що повинне містити
регулярних площин. Це число збігається із зазначеним вище (застосувати теорему ).
Пропозиція 36 Група ізоморфна симетричній групі .
Доказ. Будемо називати конфігурацією довільна підмножина з елементів в - мірному регулярному знакозмінному просторі над полем , що володіє тим властивістю, що будь-які два його різних елементи не ортогональні. Кожний ненульовий вектор з належить рівно двом конфігураціям і , так що вони перетинаються по . Щоб переконатися в цьому, візьмемо симплектическую базу простору , у якій . Ясно, що
і
дві різні конфігурації, що перетинаються по множині . Легка перевірка перебором показує, що інших конфігурацій, що містять елемент , немає. Якщо тепер виписати всі різні конфігурації в просторі , то кожний вектор із зявиться точно у двох з них, звідки й . Нехай - Множина всіх конфігурацій в.
Якщо - довільний елемент із , то тоді й тільки тоді є конфігурацією, коли - конфігурація, тому індуцирує відображення . Ясно, що це відображення на й, виходить, перестановка на . Очевидно, що є гомоморфне відображення . Щоб знайти його ядро, візьмемо в елемент . Нехай такий, що . Нехай і - дві конфігурації, що містять . Тоді не належить однієї з них, скажемо, . Звідси й . Інакше кажучи, ядро тривіально, і ми маємо інективный гомоморфізм . По теоремі група складається з елементів, тому .