Геометрические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям

курсовая работа

Геодезические линии на кривой поверхности

Рассмотрим точки А и В на поверхности, изображенной на рисунке. Среди всех кривых, которые мы можем провести на этой поверхности из точки А в точку В, существует одна кратчайшая. Она называется геодезической. Эту геодезическую линию мы и будем отыскивать. Один из способов определить эту геодезическую есть определение ее проекции на плоскость ху. Уравнение проекции АВ вместе с уравнением поверхности вполне определяют геодезическую линией. Пусть уравнение поверхности есть z = Ф(x, y).

Тогда, если х и у получат приращения dx и dy, то z получит приращение:

Следовательно, для элемента длины дуги ds имеем:

Предположим, что точки А и В соединены произвольной кривой, проекция которой на плоскость ху есть у = у(х). Тогда длина кривой равна:

Минимум этого интеграла мы ищем.

В качестве примера рассмотрим случай параболического цилиндра, изображенного на следующем рисунке; его

z = b

Отсюда

т. е. (1) обращается в

Можно получить из этого интеграла дифференциальное уравнение геодезической линии обычным способом, который был уже подробно разъяснен, так что не стоит этого повторять. Это уравнение будет:

Легко решить это уравнение. Решение дает семейство кривых на поверхности, обладающих тем свойством, что если на какой-нибудь из кривых мы отметим пару точек, то расстояние по этой кривой между этими точками меньше расстояния между ними по любой другой кривой. Если мы хотим найти геодезическую линию, проходящую через две заданные точки, то, выбирая координаты этих заданные точки, точек в качестве граничных значений, можем определить постоянные интеграции в общем решении.

Делись добром ;)