Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов

курсовая работа

Метод спуска

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в пространстве переменных

Где

и дифференциальные операторы по переменным .

Пусть обобщенная функция из допускает продолжение на функции вида , где в следующем смысле: какова бы ни была последовательность основных функций , из , сходящаяся к в , существует предел

и этот предел не зависит от последовательности .

Обозначим функционал через ,

Очевидно, при всяком функционал линейный и непрерывный на , т.е. принадлежит . Поэтому, по теореме о полноте пространства , и предельный функционал .

Приведем два примера на построение продолжения .

а) Пусть функция такая, что функция локально интегрируема в и представляется интегралом

Действительно, в этом случае функция локально интегрируема в и, в силу теорема Лебега и Фубини, предел

При всех существует и не зависит от последовательности . Отсюда, в силу , и вытекает формула .

b) Пусть , где . Тогда в силу

Теорема. Если решение уравнения допускает продолжение , то обобщенная функция из удовлетворяет уравнению

Доказательство. Пусть , последовательность функций из , сходящиеся к в . Тогда при последовательности функций , также сходятся к в и, следовательно, при всех из

Учитывая , проверим, что обобщенная функция удовлетворяет уравнению :

Теорема доказана.

Изложенный метод получения решения уравнения с переменными через решения уравнения с переменными называется методом спуска по переменной .

Метод спуска особенно удобно использовать для построения фундаментальных решений. Действительно, применяя доказанную теорему при , получаем: если фундаментальное решение оператора допускает продолжение вида , то обобщенная функция

есть фундаментальное решение оператора ; в частности, если такова, что функция локально интегрируема в , то

Фундаментальные решения и удовлетворяют соотношению

Физический смысл этой формулы состоит в том, что есть (не зависящее от ) возмущение от источника , сосредоточенного на оси .

Фундаментальное решение линейного оператора с обыкновенными производными

Фундаментальное решение этого оператора выражается формулой

где удовлетворяет однородному уравнению и начальным условиям

,

В частности, функции

являются соответственно фундаментальными решениями операторов

Делись добром ;)