Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов
Метод спуска
Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами в пространстве переменных
Где
и дифференциальные операторы по переменным .
Пусть обобщенная функция из допускает продолжение на функции вида , где в следующем смысле: какова бы ни была последовательность основных функций , из , сходящаяся к в , существует предел
и этот предел не зависит от последовательности .
Обозначим функционал через ,
Очевидно, при всяком функционал линейный и непрерывный на , т.е. принадлежит . Поэтому, по теореме о полноте пространства , и предельный функционал .
Приведем два примера на построение продолжения .
а) Пусть функция такая, что функция локально интегрируема в и представляется интегралом
Действительно, в этом случае функция локально интегрируема в и, в силу теорема Лебега и Фубини, предел
При всех существует и не зависит от последовательности . Отсюда, в силу , и вытекает формула .
b) Пусть , где . Тогда в силу
Теорема. Если решение уравнения допускает продолжение , то обобщенная функция из удовлетворяет уравнению
Доказательство. Пусть , последовательность функций из , сходящиеся к в . Тогда при последовательности функций , также сходятся к в и, следовательно, при всех из
Учитывая , проверим, что обобщенная функция удовлетворяет уравнению :
Теорема доказана.
Изложенный метод получения решения уравнения с переменными через решения уравнения с переменными называется методом спуска по переменной .
Метод спуска особенно удобно использовать для построения фундаментальных решений. Действительно, применяя доказанную теорему при , получаем: если фундаментальное решение оператора допускает продолжение вида , то обобщенная функция
есть фундаментальное решение оператора ; в частности, если такова, что функция локально интегрируема в , то
Фундаментальные решения и удовлетворяют соотношению
Физический смысл этой формулы состоит в том, что есть (не зависящее от ) возмущение от источника , сосредоточенного на оси .
Фундаментальное решение линейного оператора с обыкновенными производными
Фундаментальное решение этого оператора выражается формулой
где удовлетворяет однородному уравнению и начальным условиям
,
В частности, функции
являются соответственно фундаментальными решениями операторов