3 Общее представление цилиндрических функций. Функции Бесселя второго рода

По определению цилиндрическая функция есть произвольное решение дифференциального уравнения второго порядка

(3.1)

поэтому общее ее выражение содержится в форме

(3.2)

где и - какие-либо линейно независимые решения рассматриваемого уравнения, и - постоянные, являющиеся, вообще говоря, произвольными функциями параметра . Легко получить общее выражение цилиндрической функции для случая, когда отлично от целого числа. Действительно, выбрав , где - функция Бесселя, определенная в пункте 2, мы можем взять в качестве функцию , которая также является решением уравнения (3.1), так как последнее не меняется при замене на .

Если не равно целому числу, асимптотическое поведение рассматриваемых решений при будет

(3.3)

поэтому эти решения линейно независимы между собой и искомое выражение для цилиндрической функции может быть дано в виде

(3.4)

Если - целое число, то, в силу соотношения (2.3), построенные частные решения линейно зависимы между собой и найденное выражение (3.4) не является общим интегралом уравнения Бесселя (3.1). Чтобы получить представление произвольной цилиндрической функции, пригодное при любых значениях параметра , введем в рассмотрение функцию Бесселя второго рода , которую для произвольных , принадлежащих плоскости с разрезом , определим при помощи равенства

(3.5)

При равном целому числу правая часть рассматриваемого выражения приобретает неопределенный вид (2.3), и мы условимся понимать под значением функции в этом случае предел

(3.6)

Так как по доказанному числитель и знаменатель в (3.5) суть целые функции , рассматриваемый предел существует, и может быть вычислен по правилу Лопиталя, применение которого дает

(3.7)

Из определения функции следует, что эта функция регулярна в плоскости с разрезом , а при фиксированном представляет собой целую функцию параметра . Докажем теперь, что удовлетворяет уравнению (3.1), следовательно, является цилиндрической функцией. При , отличном от целого числа, требуемый результат непосредственно вытекает из формулы (3.4), поэтому достаточно провести доказательство только для случая

Проще всего воспользоваться для этого принципом аналитического продолжения. Так как - целая функция , то из равенства следует

Решения и линейно независимы между собой. Для этот результат является следствием линейной независимости решений и . Линейная независимость для вытекает из сопоставления поведения рассматриваемых функций при [формулы (3.3) и (3.4)]. Таким образом, общее выражение цилиндрической функции, пригодное при любых значениях , будет

(3.8)

Функции Бесселя второго рода удовлетворяют тем же рекуррентным соотношениям, что и функции первого рода, именно:

(3.9)

При , отличном от целого числа, справедливость этих формул вытекает из определения функции Бесселя второго рода и соответствующих формул для функций первого рода. Для целого требуемый результат следует из непрерывности рассматриваемых функций по отношению к значку , что позволяет осуществить в соотношениях (3.9) предельный переход

Отметим еще формулу

(3.10)

являющуюся следствием (3.7) и позволяющую свести вычисление функций с отрицательным целым значком к вычислению функций, индекс которых положителен.

При помощи замены переменных в уравнении (3.1) легко получить ряд других дифференциальных уравнений, общий интеграл которых может быть выражен через цилиндрические функции. Наиболее интересные для приложений уравнения этого типа являются различными частными случаями дифференциальных уравнений

(3.11)

общие интегралы которых соответственно будут:

(3.12)

где обозначает произвольную цилиндрическую функцию.