Функциональные уравнения на оси и полуоси

дипломная работа

1.2 Методы решения функциональных уравнений

Методы решения - методы нахождения точных или приближенных решений функциональных конкретных или абстрактных уравнений, т.е. уравнения вида

  • P(x)=y, (1.1)
  • Где P(x) - некоторый, вообще говоря нелинейный оператор, переводящий элементы пространства X типа В (или другого типа) в элементы пространства Y того же типа. Точные решения в виде аналитических выражений получаются лишь для немногих типов функциональных уравнений, поэтому особое значение имеют приближенные методы решения.
  • Для нахождения решений общих функциональных уравнений развит ряд методов, например, метод бесконечных степенных рядов, метод последовательных приближений, метод Галеркина (метод моментов), метод касательных гипербол, метод Чебышева (касательных парабол), метод Ньютона-Канторовича и его модификации, метод наискорейшего спуска и др., а также методы вариации параметра (прямые, итерационные и комбинированные) определенных типов и их различные модификации, в том числе и с последовательной аппроксимацией обратного оператора. Общие методы применяются к решению различных конкретных функциональных уравнений математического анализа. Кроме того, существуют специальные методы решения конкретных функциональных уравнений, в том числе и численные методы, например, метод сеток и др. Метод вариации параметра, метод Ньютона-Канторовича и некоторые другие из указанных методов имеют также и теоретическое значение, так как с их помощью можно делать заключение о существовании, единственности и области расположения решения функционального уравнения, не находя самого решения, что подчас не менее важно, чем фактическое значение решения. Ниже рассмотрим несколько методов решения.
  • a) Метод подстановок:
  • Пусть, например, имеется функциональное уравнение:
  • f (x + y) + f (x - y)=2•f (x)•cos y (1.2)
  • Применяя последовательно подстановки
  • x=0, y=t; x= +t, y=; x=, y=+t,
  • из (1.2) получают соответственно уравнения
  • f(t) + f(-t) = 2a cos t, f(р + t) + f(t )= 0
  • и
  • f(р + t) + f(-t)= 2b cos( + t) = -2b sin t,
  • где обозначено f(0) = a, f() = b. Отсюда путем вычитания из суммы первых двух уравнений третьего, получают 2 f(t)=2a cos t + 2b sin t. Общим решением исходного функционального уравнения (1.2) является функция f(x)=a cos x +
  • Делись добром ;)