Целочисленные функции

дипломная работа

III. Количество целых чисел в интервалах: [, ], [, ), (,), (, ].

Будем рассматривать указанные интервалы при условии .

Если и -- целые числа, тогда интервал [, ) содержит ровно целых чисел: , +1, …, , аналогично интервал (, ] содержит целых чисел, но и -- произвольные вещественные числа. Из (4) следует

, когда -- целое число

Поэтому интервал [, ) содержит ровно целых чисел, а интервал (, ] содержит ровно целых чисел.

Рассмотрим промежуток [, . Имеем (на основании свойств (4)). Отсюда следует, что рассматриваемый промежуток содержит ровно целых чисел: , , …, , .

Рассмотрим (, ), причём . Имеем . Отсюда следует, что рассматриваемый интервал содержит ровно целых чисел: , , …, , . Если не вводить дополнительное ограничение то получим, что пустой интервал (, ) содержит ровно целых чисел.

Подытожим установленные факты:

Интервал

Количество целых чисел

Ограничение

[,

+ 1

[, )

(, ]

(, )

1

<

"right">(9)

IV. Спектры.

Спектр некоторого вещественного числа определяется как бесконечное мультимножество целых чисел:

"right">Spec () = {, , ,…} (10)

Если , то Spec ()Spec (), т.е. нет двух одинаковых спектров.

Действительно, если предположить, что , то найдётся некоторое положительное целое число , такое, что . Следовательно, и . Таким образом, Spec() содержит менее чем m элементов не больших , тогда как Spec(б) содержит по меньшей мере m.

Пусть . Число элементов в Spec(), которые не превосходят , равно

"right"> (11)

Говорят, что спектры образуют разбиение всех целых положительных чисел, если любое число, отсутствующее в одном спектре, присутствует в другом; но никакое число не содержится одновременно в обоих. Пусть и -- вещественные положительные числа, тогда Spec() и Spec() образуют разбиение натуральных чисел тогда и только тогда, когда . Интересное свойство спектров будет доказано в задаче 10. В задаче 17 будет показана связь между мультимножествами Spec() и Spec, где -- некоторое положительное число.

Делись добром ;)