Цепи Маркова

курсовая работа

§5. Доказательство теоремы о предельных вероятностях в цепи Маркова

Докажем сначала две леммы. Положим

Лемма 1. При любых существуют пределы

и

Доказательство. Используя уравнение (3) с получим

Таким образом, последовательности и монотонны и ограничены. Отсюда следует утверждение леммы 1.

Лемма 2. Если выполнены условия теоремы 2, то существуют постоянные , такие, что

Для любых

где , означает суммирование по всем , при которых положительно, а суммирование по остальным . Отсюда

. (12)

Так как в условиях теоремы 1 вероятности перехода при всех , то при любых

(13)

И в силу конечности числа состояний

(14)

Оценим теперь разность . Используя уравнение (3) с , , получим

=

.

Отсюда, используя (8)-(10), найдем

=.

Объединяя это соотношение с неравенством (14) , получим утверждение леммы.

Перейти к доказательству теоремы. Так как последовательности , монотонны, то

0<. (15)

Отсюда и из леммы 1 находим

Следовательно, при получи и

(16)

Положительность следует из неравенства (15). Переходя к пределу при и в уравнении (3), получим, что удовлетворяет уравнению (12). Теорема доказана.

Делись добром ;)