Цилиндрические функции

курсовая работа

1.8 Интеграл Пуассона

Для изучения свойств Бесселевых функций имеет большое значение другое интегральное представление их, открытое Пуассоном. Оно может быть получено, исходя из разложения этих функций в степенной ряд, т. е. из равенства:

Умножим числитель и знаменатель общего члена ряда Г( и воспользуемся формулой (6) § 8 гл. I, которая при s=, получает вид:

После этого общий член ряда принимает вид:

Последнее же очевидно равно такому выражению:

Последний множитель есть не что иное, как функция B (p,q) при

.

Поэтому, если воспользоваться выражением B (p,q)= B (q,p) в виде определенного интеграла, то величина (3) принимает вид:

Полагая и подставляя преобразованную величину (4) в равенство (1), находим:

Здесь можно переставить суммирование и интегрирование. После этого под знаком интеграла получится величина

,

очевидно равная величине .

Поэтому равенство (5) преобразуется в такое:

По свойству интегралов от четных функций его можно переписать и так:

Полагая t = sin , получим первоначальную формулу Пуассона:

Ясно, что интегралы (6), (7) и (8) имеют смысл только при том условии, что n+> 0, иначе они не будут сходящимися, так как при t или величины или будут стремиться к быстрее, чем это следует для сходимости.

Делись добром ;)